## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

ここでは、画像に含まれる問題のうち、以下の問題を解きます。

* 13 (1) $x^3 - 13x + 12 = 0$

* 14 (1) 2点 $A(1, -1)$, $B(4, 3)$ を結ぶ線分 $AB$ について、$2:1$ に内分する点の座標を求めよ。

* 15 (1) 点 $(2, 7)$ を通り、傾きが $3$ の直線の方程式を求めよ。

* 16 点 $(-4, 2)$ と直線 $y = 5x - 4$ の距離を求めよ。

###

1. 問題の内容

* 13 (1): 3次方程式 $x^3 - 13x + 12 = 0$ を解きます。

* 14 (1): 2点 $A(1, -1)$, $B(4, 3)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点の座標を求めます。

* 15 (1): 点 $(2, 7)$ を通り、傾きが $3$ の直線の方程式を求めます。

* 16: 点 $(-4, 2)$ と直線 $y = 5x - 4$ の距離を求めます。

###

2. 解き方の手順

#### 13 (1) $x^3 - 13x + 12 = 0$

1. 因数定理を利用します。$x = 1$ を代入すると $1^3 - 13(1) + 12 = 1 - 13 + 12 = 0$ となるので、$x - 1$ は因数です。

2. 組み立て除法または筆算で、$x^3 - 13x + 12$ を $x - 1$ で割ります。

$x^3 - 13x + 12 = (x - 1)(x^2 + x - 12)$

3. 2次方程式 $x^2 + x - 12 = 0$ を解きます。

$(x + 4)(x - 3) = 0$

よって、$x = -4, 3$

#### 14 (1) $2:1$ に内分する点

1. 内分点の公式を利用します。点 $A(x_1, y_1)$ と $B(x_2, y_2)$ を $m:n$ に内分する点の座標は、

$(\frac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \frac{ny_1 + my_2}{m + n})$

今回は $m = 2, n = 1, A(1, -1), B(4, 3)$ です。

2. 公式に代入します。

$x = \frac{1(1) + 2(4)}{2 + 1} = \frac{1 + 8}{3} = \frac{9}{3} = 3$

$y = \frac{1(-1) + 2(3)}{2 + 1} = \frac{-1 + 6}{3} = \frac{5}{3}$

#### 15 (1) 点 $(2, 7)$ を通り、傾きが $3$ の直線

1. 直線の式 $y = mx + c$ に、傾き $m = 3$ を代入します。

$y = 3x + c$

2. 点 $(2, 7)$ を通るので、この点を式に代入して、$c$ を求めます。

$7 = 3(2) + c$

$7 = 6 + c$

$c = 1$

3. $m$ と $c$ を直線の式に代入します。

$y = 3x + 1$

#### 16 点 $(-4, 2)$ と直線 $y = 5x - 4$ の距離

1. 直線の方程式を一般形 $ax + by + c = 0$ に変形します。

$5x - y - 4 = 0$

よって、$a = 5, b = -1, c = -4$

2. 点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ を求める公式を利用します。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

3. 公式に代入します。$x_0 = -4, y_0 = 2$

$d = \frac{|5(-4) + (-1)(2) - 4|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2}} = \frac{|-20 - 2 - 4|}{\sqrt{25 + 1}} = \frac{|-26|}{\sqrt{26}} = \frac{26}{\sqrt{26}} = \sqrt{26}$

###

3. 最終的な答え

* 13 (1): $x = 1, -4, 3$

* 14 (1): $(3, \frac{5}{3})$

* 15 (1): $y = 3x + 1$

* 16: $\sqrt{26}$