(3)において、$a = 3$, $A = 120^\circ$であるときの三角形の要素を求めます。 (4)において、$c = 5$, $C = 135^\circ$であるときの三角形の要素を求めます。

1. 問題の内容

(3)において、$a = 3$, $A = 120^\circ$であるときの三角形の要素を求めます。

(4)において、$c = 5$, $C = 135^\circ$であるときの三角形の要素を求めます。

2. 解き方の手順

(3)

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{3}{\sin 120^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

もし仮に$B=30^\circ$だとすると、$C = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$となり、二等辺三角形になるはずです。

$\frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\frac{1}{2}} = 2b = 2\sqrt{3}$

$b = \sqrt{3}$

このとき、$c = \sqrt{3}$でもあります。

(4)

正弦定理より、

$\frac{c}{\sin C} = \frac{5}{\sin 135^\circ} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$

もし仮に$A=30^\circ$だとすると、$B = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ$

$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{a}{\frac{1}{2}} = 2a = 5\sqrt{2}$

$a = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

$\frac{b}{\sin 15^\circ} = 5\sqrt{2}$

$b = 5\sqrt{2}\sin 15^\circ = 5\sqrt{2} \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{5\sqrt{12} - 5 \cdot 2}{4} = \frac{10\sqrt{3} - 10}{4} = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$

3. 最終的な答え

(3)　$A=120^\circ$, $a=3$, $B=30^\circ$, $b = \sqrt{3}$, $C=30^\circ$, $c=\sqrt{3}$

(4)　$C=135^\circ$, $c=5$, $A=30^\circ$, $a = \frac{5\sqrt{2}}{2}$, $B = 15^\circ$, $b = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$

もちろんAとBの角度は他の可能性もあります。

例えば、もし$A = 45^\circ$だとすると、$B = 180^\circ - 135^\circ - 45^\circ = 0^\circ$となり、これは不可能です。

$A$は$0^\circ$から$45^\circ$の間でなければならないです。