問題184：中心が点 $(3, 0)$ で、直線 $4x - 3y - 2 = 0$ に接する円の方程式を求める。 問題185：点 $A(0, 5)$ から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

問題184：中心が点 $(3, 0)$ で、直線 $4x - 3y - 2 = 0$ に接する円の方程式を求める。

問題185：点 $A(0, 5)$ から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

問題184：

中心 $(3, 0)$ から直線 $4x - 3y - 2 = 0$ までの距離が円の半径 $r$ に等しい。点と直線の距離の公式を使って $r$ を求める。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離は

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で与えられる。

この問題では、$x_0 = 3$, $y_0 = 0$, $a = 4$, $b = -3$, $c = -2$ であるから、

$r = \frac{|4(3) - 3(0) - 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 - 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{5} = 2$

したがって、円の方程式は $(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$ となり、 $(x - 3)^2 + y^2 = 4$ となる。

問題185：

接点を $(x_1, y_1)$ とする。円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1 x + y_1 y = 5$ である。

この接線が点 $A(0, 5)$ を通るので、 $x_1 (0) + y_1 (5) = 5$。

これから $5 y_1 = 5$ となり、$y_1 = 1$ を得る。

$(x_1, y_1)$ は円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点なので、$x_1^2 + y_1^2 = 5$ を満たす。

$y_1 = 1$ を代入すると、$x_1^2 + 1^2 = 5$, $x_1^2 = 4$, $x_1 = \pm 2$

したがって、接点は $(2, 1)$ または $(-2, 1)$ である。

接点が $(2, 1)$ のとき、接線の方程式は $2x + y = 5$。

接点が $(-2, 1)$ のとき、接線の方程式は $-2x + y = 5$。

3. 最終的な答え

問題184：円の方程式は $(x - 3)^2 + y^2 = 4$

問題185：

接線の方程式は $2x + y = 5$ または $-2x + y = 5$。

接点の座標は $(2, 1)$ または $(-2, 1)$。