三角形ABCの内部に点Pがあり、Pから辺AB, ACに下ろした垂線の足をそれぞれD, Eとします。AD = AEであるとき、以下の問いに答えます。 (1) $\triangle ADP \equiv \triangle AEP$を証明します。 (2) $\angle BAP = a^\circ$とし、点Pが$\angle B$と$\angle C$の二等分線の交点であるとき、以下の問いに答えます。 (i) $\angle BPC$の大きさを$a$を用いて表します。 (ii) 点Pを通り、辺ABと平行な直線と辺BCの交点をQとします。また、線分QC上に$BC = PQ + QR + RP$を満たす点Rをとるとき、$\angle QPR$の大きさを$a$を用いて表します。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順を追って解答します。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部に点Pがあり、Pから辺AB, ACに下ろした垂線の足をそれぞれD, Eとします。AD = AEであるとき、以下の問いに答えます。

(1) $\triangle ADP \equiv \triangle AEP$を証明します。

(2) $\angle BAP = a^\circ$とし、点Pが$\angle B$と$\angle C$の二等分線の交点であるとき、以下の問いに答えます。

(i) $\angle BPC$の大きさを$a$を用いて表します。

(ii) 点Pを通り、辺ABと平行な直線と辺BCの交点をQとします。また、線分QC上に$BC = PQ + QR + RP$を満たす点Rをとるとき、$\angle QPR$の大きさを$a$を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ADP$と$\triangle AEP$について、

* 仮定より、 $AD = AE$

* $\angle ADP = \angle AEP = 90^\circ$

* $AP$は共通

直角三角形において、斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいので、$\triangle ADP \equiv \triangle AEP$

(2) (i) $\angle BAP = a^\circ$なので、$\angle BAC = a^\circ \times 2 = 2a^\circ$ となります。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 2a^\circ$

点Pは$\angle B$と$\angle C$の二等分線の交点なので、

$\angle PBC + \angle PCB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = \frac{1}{2}(180^\circ - 2a^\circ) = 90^\circ - a^\circ$

したがって、$\angle BPC = 180^\circ - (\angle PBC + \angle PCB) = 180^\circ - (90^\circ - a^\circ) = 90^\circ + a^\circ$

(ii) 点Pを通り辺ABと平行な直線を引くとき、$\angle PQB = \angle ABP$ （平行線の錯角）

また、Pは$\angle B$の二等分線上の点なので、$\angle ABP = \angle PBC$

よって、$\angle PQB = \angle PBC$

$\triangle PBQ$において、二つの角が等しいので、$\triangle PBQ$は二等辺三角形であり、$PQ = PB$

ここで、$BC = PQ + QR + RP$ であり、$PQ = PB$なので、$BC = PB + QR + RP$となります。

$BC = BP + PR + RQ$ より、$PR + RQ = CR + BQ$ と予想できますが、これ以上の情報は与えられていないので、$a$のみを用いて$\angle QPR$を求めるのは難しいです。

しかし、仮に$QR = RP$だとすると、$\angle QPR = (180 - 2*a)/2 = 90 - a$になると思われます。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ADP \equiv \triangle AEP$ (証明終わり)

(2) (i) $\angle BPC = 90^\circ + a^\circ$

(ii) $\angle QPR = 90^\circ - a^\circ$ （ただし、$QR = RP$という仮定が必要です。）