与えられた2つの円について、それぞれの中心の座標と半径を求め、中心間の距離を計算することで、2つの円の位置関係（互いに外部にある、外接する、2点で交わる、内接する、一方が他方の内部にある）を判定する。

1. 問題の内容

与えられた2つの円について、それぞれの中心の座標と半径を求め、中心間の距離を計算することで、2つの円の位置関係（互いに外部にある、外接する、2点で交わる、内接する、一方が他方の内部にある）を判定する。

2. 解き方の手順

円の方程式は、一般に $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ で表され、中心が $(a, b)$、半径が $r$ である。与えられた円の方程式をこの形に変形し、中心の座標と半径を求める。

中心間の距離 $d$ は、2つの中心の座標をそれぞれ $(a_1, b_1)$, $(a_2, b_2)$ とすると、$d = \sqrt{(a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2}$ で求められる。

それぞれの円の半径を $r_1$, $r_2$ とすると、以下のように位置関係を判定できる。

* $d > r_1 + r_2$: 互いに外部にある

* $d = r_1 + r_2$: 外接する

* $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$: 2点で交わる

* $d = |r_1 - r_2|$: 内接する

* $d < |r_1 - r_2|$: 一方が他方の内部にある

(1)

円1: $x^2 + y^2 = 9$。中心は $(0, 0)$、半径は $r_1 = 3$

円2: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$。中心は $(3, 4)$、半径は $r_2 = 5$

中心間の距離: $d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$r_1 + r_2 = 3 + 5 = 8$

$|r_1 - r_2| = |3 - 5| = 2$

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ より、2点で交わる。

(2)

円1: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 36$。中心は $(2, -5)$、半径は $r_1 = 6$

円2: $(x + 1)^2 + (y - 6)^2 = 16$。中心は $(-1, 6)$、半径は $r_2 = 4$

中心間の距離: $d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (6 - (-5))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (11)^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}$

$r_1 + r_2 = 6 + 4 = 10$

$|r_1 - r_2| = |6 - 4| = 2$

$d > r_1 + r_2$ より、互いに外部にある。

(3)

円1: $(x - 3)^2 + y^2 = 3$。中心は $(3, 0)$、半径は $r_1 = \sqrt{3}$

円2: $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 22 = 0$。

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 + 4 + 22 = 27$。中心は $(1, 2)$、半径は $r_2 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

中心間の距離: $d = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$r_1 + r_2 = \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$|r_1 - r_2| = | \sqrt{3} - 3\sqrt{3} | = |-2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$

$d = 2\sqrt{2} \approx 2.83$

$r_1 + r_2 = 4\sqrt{3} \approx 6.93$

$|r_1 - r_2| = 2\sqrt{3} \approx 3.46$

$d < |r_1 - r_2|$ より、一方が他方の内部にある。

(4)

円1: $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$。

$(x - 1)^2 + y^2 = 1 + 3 = 4$。中心は $(1, 0)$、半径は $r_1 = 2$

円2: $x^2 + y^2 - 8x - 8y + 23 = 0$。

$(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 16 + 16 - 23 = 9$。中心は $(4, 4)$、半径は $r_2 = 3$

中心間の距離: $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$

$|r_1 - r_2| = |2 - 3| = 1$

$d = r_1 + r_2$ より、外接する。

(5)

円1: $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 73 = 0$。

$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 1 + 16 + 73 = 90$。中心は $(-1, 4)$、半径は $r_1 = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

円2: $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 35 = 0$。

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 + 1 + 35 = 40$。中心は $(-2, 1)$、半径は $r_2 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

中心間の距離: $d = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

$r_1 + r_2 = 3\sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 5\sqrt{10}$

$|r_1 - r_2| = |3\sqrt{10} - 2\sqrt{10}| = \sqrt{10}$

$d = |r_1 - r_2|$ より、内接する。

3. 最終的な答え

(1) 2点で交わる

(2) 互いに外部にある

(3) 一方が他方の内部にある

(4) 外接する

(5) 内接する