与えられた問題は、空間内の直線、2点を通る直線、平面の方程式のパラメータ表示を求めたり、3点を通る平面の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。 (1) 直線 $\frac{x+2}{3} = \frac{z}{2}$ かつ $y=1$ をパラメータ表示せよ。 (2) 2点 A(2,-1,3), B(4,2,3) を通る直線の方程式を求めよ。 (3) 平面 $y - 2z + 1 = 0$ をパラメータ表示せよ。 (4) 3点 P(1,-5,2), Q(3,1,-1), R(1,-2,0) を含む平面の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた問題は、空間内の直線、2点を通る直線、平面の方程式のパラメータ表示を求めたり、3点を通る平面の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。

(1) 直線 $\frac{x+2}{3} = \frac{z}{2}$ かつ $y=1$ をパラメータ表示せよ。

(2) 2点 A(2,-1,3), B(4,2,3) を通る直線の方程式を求めよ。

(3) 平面 $y - 2z + 1 = 0$ をパラメータ表示せよ。

(4) 3点 P(1,-5,2), Q(3,1,-1), R(1,-2,0) を含む平面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{x+2}{3} = \frac{z}{2} = t$ とおく。すると、$x = 3t-2$, $z=2t$ となる。

$y=1$ なので、パラメータ表示は

$(x, y, z) = (3t-2, 1, 2t)$

(2)

直線ABの方向ベクトルは $\vec{AB} = (4-2, 2-(-1), 3-3) = (2, 3, 0)$

直線の方程式は、点Aを通るとして

$\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{0}$

または

$x = 2+2t$, $y=-1+3t$, $z=3$

(3)

$z = s$, $x = t$ とおくと、$y = 2z - 1 = 2s - 1$

パラメータ表示は

$(x, y, z) = (t, 2s-1, s)$

または

$(x, y, z) = (0, -1, 0) + t(1, 0, 0) + s(0, 2, 1)$

(4)

$\vec{PQ} = (3-1, 1-(-5), -1-2) = (2, 6, -3)$

$\vec{PR} = (1-1, -2-(-5), 0-2) = (0, 3, -2)$

法線ベクトルは

$\vec{PQ} \times \vec{PR} = (6(-2) - (-3)(3), (-3)(0) - (2)(-2), (2)(3) - (6)(0)) = (-12+9, 0+4, 6-0) = (-3, 4, 6)$

したがって、平面の方程式は

$-3(x-1) + 4(y+5) + 6(z-2) = 0$

$-3x + 3 + 4y + 20 + 6z - 12 = 0$

$-3x + 4y + 6z + 11 = 0$

$3x - 4y - 6z - 11 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y, z) = (3t-2, 1, 2t)$

(2) $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3} , z = 3$ または $x = 2+2t, y=-1+3t, z=3$

(3) $(x, y, z) = (t, 2s-1, s)$ または $(x, y, z) = (0, -1, 0) + t(1, 0, 0) + s(0, 2, 1)$

(4) $3x - 4y - 6z - 11 = 0$