円の内部に点Pがあり、点Pを通る線分ABとCDがあります。円の中心をOとします。線分APの長さは5、OPの長さはx、PBの長さは線分PDの長さは3、PCの長さは7です。このとき、xの値を求める問題です。

1. 問題の内容

円の内部に点Pがあり、点Pを通る線分ABとCDがあります。円の中心をOとします。線分APの長さは5、OPの長さはx、PBの長さは線分PDの長さは3、PCの長さは7です。このとき、xの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の内部の1点Pを通る2つの弦AB, CDについて、

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

が成立します。

この問題に当てはめると、

$AP = 5$, $PB = x + OB = x + 5$, $CP = 7$, $PD = 3$

となります。

$5(x+5) = 7 \cdot 3$

$5x + 25 = 21$

$5x = 21 - 25$

$5x = -4$

$x = -\frac{4}{5}$

ここで、点Bの位置を再確認します。$OB = OA$なので、OA = 5となります。PB = OB - OP = 5 - xです。

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

$5 \cdot (5-x) = 7 \cdot 3$

$25 - 5x = 21$

$5x = 25 - 21$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

x = 4/5