次の積分を計算します。 $\int \left( \tan x + \frac{1}{\tan x} \right) dx$

1. 問題の内容

次の積分を計算します。

$\int \left( \tan x + \frac{1}{\tan x} \right) dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。$\frac{1}{\tan x} = \cot x$ なので、

$\tan x + \frac{1}{\tan x} = \tan x + \cot x$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$、 $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ であるから、

$\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ なので、

$\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \csc 2x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (\tan x + \cot x) dx = \int 2 \csc 2x dx$

ここで、$u = 2x$ とおくと、$du = 2 dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$ である。よって、

$\int 2 \csc 2x dx = \int 2 \csc u \frac{1}{2} du = \int \csc u du$

$\int \csc u du = - \ln |\csc u + \cot u| + C$

よって、

$\int 2 \csc 2x dx = - \ln |\csc 2x + \cot 2x| + C$

3. 最終的な答え

$- \ln |\csc 2x + \cot 2x| + C$