SENSEI AI
About App

極限 $\lim_{x\to\infty} (1 + \frac{1}{2x})^x$ を計算してください。

解析学極限ネイピア数指数法則関数の極限
2025/8/4

1. 問題の内容

極限 lim⁡x→∞(1+12x)x\lim_{x\to\infty} (1 + \frac{1}{2x})^x を計算してください。

2. 解き方の手順

ネイピア数 ee の定義を利用します。
e=lim⁡n→∞(1+1n)ne = \lim_{n\to\infty} (1 + \frac{1}{n})^n です。
与えられた極限を ee の定義の形に変形します。
2x=t2x = t とおくと、x→∞x \to \infty のとき t→∞t \to \infty となります。
x=t2x = \frac{t}{2} なので、
lim⁡x→∞(1+12x)x=lim⁡t→∞(1+1t)t2\lim_{x\to\infty} (1 + \frac{1}{2x})^x = \lim_{t\to\infty} (1 + \frac{1}{t})^{\frac{t}{2}}
指数法則より、
lim⁡t→∞(1+1t)t2=lim⁡t→∞[(1+1t)t]12\lim_{t\to\infty} (1 + \frac{1}{t})^{\frac{t}{2}} = \lim_{t\to\infty} [(1 + \frac{1}{t})^t]^{\frac{1}{2}}
lim⁡t→∞(1+1t)t=e\lim_{t\to\infty} (1 + \frac{1}{t})^t = e なので、
lim⁡t→∞[(1+1t)t]12=e12=e\lim_{t\to\infty} [(1 + \frac{1}{t})^t]^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}

3. 最終的な答え

e\sqrt{e}

「解析学」の関連問題

不定積分 $I = \int \frac{1}{(x-1)(x^2+1)}dx$ を求める問題です。積分定数は省略してよいとあります。

不定積分部分分数分解積分
2025/8/4

関数 $y = x^3 + 3ax^2 + 3bx + c$ が $x=1$ で極小値をとり、点 $(0, 3)$ が変曲点であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

微分極値変曲点関数の解析
2025/8/4

$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$

積分不定積分計算数式処理
2025/8/4

問題は2つあります。 問題3：関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の区間 $1 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求めよ。 問題4：関数 $y = x^4 + 3x^2 +...

二次関数最大値最小値平方完成定義域四次関数
2025/8/4

画像には2つの積分問題が含まれています。一つ目は $\int x\sqrt{x^2+2}dx$ であり、二つ目は $\int \cos^2 x dx$ です。それぞれを計算し、定数項Cを付けて答えを求...

積分置換積分半角の公式
2025/8/4

与えられた関数に対して、ライプニッツの公式を用いて第 $n$ 次導関数を求める問題です。 (1) $x^3e^{2x}$ (2) $x^2\log(1+x)$ (3) $x^3\sin(2x)$

ライプニッツの公式導関数積の微分微分
2025/8/4

$\int \frac{x}{x+1} dx$ を計算しなさい。

積分不定積分有理関数部分分数分解
2025/8/4

$\int x \cos x dx$ を計算する問題です。

積分部分積分定積分
2025/8/4

与えられた三角関数の式を、$sin θ$ または $cos θ$ を用いて表す問題です。以下の4つの式をそれぞれ簡略化します。 (1) $sin(θ + π)$ (2) $cos(θ - π)$ (3...

三角関数加法定理三角関数の変換
2025/8/4

逆正弦関数 $\sin^{-1}(2x)$ の微分を求める問題です。

微分逆正弦関数合成関数の微分
2025/8/4