関数 $f(x) = \int_{1}^{x} |t(t-2)| dt$ が与えられています。$f(3)$ の値を求め、さらに $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2 - 1} f(x)$ の値を求めてください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_{1}^{x} |t(t-2)| dt$ が与えられています。$f(3)$ の値を求め、さらに $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2 - 1} f(x)$ の値を求めてください。

2. 解き方の手順

まず、$f(3)$ を計算します。

$f(3) = \int_{1}^{3} |t(t-2)| dt$

積分範囲を $1 \le t \le 3$ とすると、$t \ge 0$ であるため、$|t(t-2)| = |t-2|t$ となります。

さらに、積分範囲を分割します。$1 \le t \le 2$ のとき、$t(t-2) \le 0$ なので、$|t(t-2)| = -t(t-2) = -t^2 + 2t$ となり、$2 \le t \le 3$ のとき、$t(t-2) \ge 0$ なので、$|t(t-2)| = t(t-2) = t^2 - 2t$ となります。

したがって、

$f(3) = \int_{1}^{2} (-t^2 + 2t) dt + \int_{2}^{3} (t^2 - 2t) dt$

$= [-\frac{1}{3}t^3 + t^2]_1^2 + [\frac{1}{3}t^3 - t^2]_2^3$

$= (-\frac{8}{3} + 4) - (-\frac{1}{3} + 1) + (\frac{27}{3} - 9) - (\frac{8}{3} - 4)$

$= -\frac{8}{3} + 4 + \frac{1}{3} - 1 + 9 - 9 - \frac{8}{3} + 4$

$= -\frac{16}{3} + \frac{1}{3} + 7$

$= -\frac{15}{3} + 7 = -5 + 7 = 2$

次に、$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2 - 1} f(x)$ を計算します。

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用します。

$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{2x}$

$f(x) = \int_{1}^{x} |t(t-2)| dt$ より、$f'(x) = |x(x-2)|$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{2x} = \lim_{x \to 1} \frac{|x(x-2)|}{2x} = \frac{|1(1-2)|}{2 \cdot 1} = \frac{|-1|}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$f(3) = 2$

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2 - 1} f(x) = \frac{1}{2}$