正六角形ABCDEFが円に内接している。$\angle ABC = 90^\circ$、$\angle ADC = 90^\circ$であるとき、$\angle BOC = x$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFが円に内接している。$\angle ABC = 90^\circ$、$\angle ADC = 90^\circ$であるとき、$\angle BOC = x$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

* 正六角形の1つの内角は $\frac{180(6-2)}{6} = 120^\circ$ である。

* 円周角の定理より、$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC$、$\angle CAD = \frac{1}{2} \angle COD$ が成り立つ。

* $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 120^\circ$ である。

$\angle BCA = 90^\circ - \angle BAC$

$\angle ACD = 90^\circ - \angle CAD$

$\angle BCA + \angle ACD = 180^\circ - (\angle BAC + \angle CAD) = 120^\circ$

$\angle BAC + \angle CAD = \angle BAD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

* $\angle BOD = 2 \angle BAD = 2 * 60^\circ = 120^\circ$

* $\angle BOC + \angle COD = \angle BOD = 120^\circ$

* $\angle BOC = x$とする。

$\angle BAC = \frac{1}{2} x$

$\angle CAD = 30^\circ - \frac{1}{2} x$

$\angle COD = 2 \angle CAD = 60^\circ - x$

$\angle BOC + \angle COD = x + (60^\circ - x) = 60^\circ$

しかし、$\angle BOD = 120^\circ$なので、この関係は成り立たない。

* $\angle BAD = 60^\circ$。したがって、$\angle BOD = 2 \angle BAD = 120^\circ$ である。

* 正六角形の中心角は $\frac{360}{6} = 60^\circ$である。したがって、$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF = \angle FOA = 60^\circ$。

* $\angle BAD = 60^\circ$より、$\angle BOC + \angle COD = \angle BOD = 2 \angle BAD = 120^\circ$。また、$\angle ABC = 90^\circ$および$\angle ADC = 90^\circ$であることから、円周角の定理を利用して$\angle AOC$ および$\angle AOD$の関係を求める。

* 弧AB, BC, CD, DAに対する中心角をそれぞれ$\angle AOB, \angle BOC, \angle COD, \angle DOA$とする。

$\angle ABC = 90^\circ$なので、$\frac{\angle AOC}{2} = 90^\circ$. したがって、$\angle AOC = 180^\circ$.

$\angle ADC = 90^\circ$なので、$\frac{\angle AOC}{2} = 90^\circ$. したがって、$\angle AOC = 180^\circ$.

$\angle BOC = x$とすると、$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$. $\angle AOB = 60^\circ$なので、$x = 120^\circ$.

3. 最終的な答え

120