台形ABCDがあり、AD // BC、∠C = ∠D = 90°、AD = 6cm、BC = 9cm、CD = 4cmです。この台形を直線CDの周りに1回転させてできる立体の体積と表面積を求めます。

1. 問題の内容

台形ABCDがあり、AD // BC、∠C = ∠D = 90°、AD = 6cm、BC = 9cm、CD = 4cmです。この台形を直線CDの周りに1回転させてできる立体の体積と表面積を求めます。

2. 解き方の手順

回転体は、底面の半径が9cm、高さが4cmの円柱から、底面の半径が6cm、高さが4cmの円柱を取り除いた形になります。

(1) 体積の計算

大きな円柱の体積 $V_1$ は、

$V_1 = \pi \times (9\text{cm})^2 \times 4\text{cm} = 324\pi \text{cm}^3$

小さな円柱の体積 $V_2$ は、

$V_2 = \pi \times (6\text{cm})^2 \times 4\text{cm} = 144\pi \text{cm}^3$

回転体の体積 $V$ は、

$V = V_1 - V_2 = 324\pi \text{cm}^3 - 144\pi \text{cm}^3 = 180\pi \text{cm}^3$

(2) 表面積の計算

大きな円柱の側面積 $S_1$ は、

$S_1 = 2\pi \times 9\text{cm} \times 4\text{cm} = 72\pi \text{cm}^2$

小さな円柱の側面積 $S_2$ は、

$S_2 = 2\pi \times 6\text{cm} \times 4\text{cm} = 48\pi \text{cm}^2$

大きな円柱の底面積 $B_1$ は、

$B_1 = \pi \times (9\text{cm})^2 = 81\pi \text{cm}^2$

小さな円柱の底面積 $B_2$ は、

$B_2 = \pi \times (6\text{cm})^2 = 36\pi \text{cm}^2$

回転体の表面積 $S$ は、

$S = S_1 + S_2 + 2 \times (B_1 - B_2) = 72\pi \text{cm}^2 + 48\pi \text{cm}^2 + 2 \times (81\pi \text{cm}^2 - 36\pi \text{cm}^2)$

$S = 120\pi \text{cm}^2 + 2 \times 45\pi \text{cm}^2 = 120\pi \text{cm}^2 + 90\pi \text{cm}^2 = 210\pi \text{cm}^2$

3. 最終的な答え

体積: $180\pi \text{cm}^3$

表面積: $210\pi \text{cm}^2$