円があり、円外の点Pから円に2本の割線が引かれている。それぞれの割線は点A, Bと点C, Dで円と交わっている。PA = $x$, AB = 5, PC = 4, CD = 2のとき、$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

円があり、円外の点Pから円に2本の割線が引かれている。それぞれの割線は点A, Bと点C, Dで円と交わっている。PA = $x$, AB = 5, PC = 4, CD = 2のとき、$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

方べきの定理を用いる。

点Pから円に引かれた割線PA, PBについて、

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立つ。

PA = $x$, AB = 5より、PB = PA + AB = $x$ + 5

PC = 4, CD = 2より、PD = PC + CD = 4 + 2 = 6

上記の値を方べきの定理の式に代入すると、

$x (x+5) = 4 \cdot 6$

$x^2 + 5x = 24$

$x^2 + 5x - 24 = 0$

この二次方程式を解く。因数分解すると、

$(x+8)(x-3) = 0$

$x = -8, 3$

$x$は長さを表すので、$x > 0$より、$x = 3$

3. 最終的な答え

$x = 3$