同じ長さの線で作られた小さな正三角形を組み合わせて大きな正三角形を作る。12段組み合わせて作るときに必要な線の合計の本数を求める問題です。

1. 問題の内容

同じ長さの線で作られた小さな正三角形を組み合わせて大きな正三角形を作る。12段組み合わせて作るときに必要な線の合計の本数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、段数と必要な線の本数の関係を調べます。

1段のとき、線の本数は3本。

2段のとき、線の本数は9本。

3段のとき、線の本数は18本。

段数と必要な線の本数の関係を数列として考えます。

1段のとき3本、2段のとき9本、3段のとき18本なので、それぞれの差を計算します。

9 - 3 = 6

18 - 9 = 9

さらに差を計算します。

9 - 6 = 3

差が一定ではないので、等差数列ではありません。

しかし、段数が増えるごとに、必要な線の本数も増えています。

$n$段のときに必要な線の本数を $a_n$ とします。

1段のとき、$a_1 = 3 = 3 \times 1 = 3 \times \frac{1 \times (1 + 1)}{2}$

2段のとき、$a_2 = 9 = 3 \times (1 + 2) = 3 \times 3 = 3 \times \frac{2 \times (2 + 1)}{2}$

3段のとき、$a_3 = 18 = 3 \times (1 + 2 + 3) = 3 \times 6 = 3 \times \frac{3 \times (3 + 1)}{2}$

$n$段のとき、$a_n = 3 \times (1 + 2 + \dots + n) = 3 \times \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、12段のとき、必要な線の本数は、

$a_{12} = 3 \times \frac{12 \times (12 + 1)}{2} = 3 \times \frac{12 \times 13}{2} = 3 \times 6 \times 13 = 18 \times 13 = 234$ 本です。

3. 最終的な答え

234本