3つの噴水の軌跡が放物線として与えられており、左右の小さい噴水の軌跡をそれぞれ$C_1$, $C_2$、中央の大きい噴水の軌跡を$C_3$とする。問題では、与えられた条件のもとで、$C_3$を表す2次関数を決定し、$C_3$の頂点の$y$座標（すなわち、中央の大きな噴水の高さ）が、$C_1$（または$C_2$）の頂点の$y$座標（すなわち、左右の小さい噴水の高さ）の何倍になるかを求める。

1. 問題の内容

3つの噴水の軌跡が放物線として与えられており、左右の小さい噴水の軌跡をそれぞれ$C_1$, $C_2$、中央の大きい噴水の軌跡を$C_3$とする。問題では、与えられた条件のもとで、$C_3$を表す2次関数を決定し、$C_3$の頂点の$y$座標（すなわち、中央の大きな噴水の高さ）が、$C_1$（または$C_2$）の頂点の$y$座標（すなわち、左右の小さい噴水の高さ）の何倍になるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、仮定1より、$C_1$は点$(-\frac{5}{2}, 0)$を通り、$C_2$は点$(\frac{5}{2}, 0)$を通る。また、$C_1$と$C_2$はともに点$(0, 1)$を通る。

$C_1$を表す2次関数を $y = a(x - \frac{5}{2})(x - r)$ とおくと、$r = -\frac{5}{2}$である。したがって、$y = a(x - \frac{5}{2})(x + \frac{5}{2}) = a(x^2 - \frac{25}{4})$となる。このグラフが$(0, 1)$を通るので、$1 = a(0 - \frac{25}{4})$より、$a = -\frac{4}{25}$。したがって、$C_1$を表す2次関数は、$y = -\frac{4}{25}(x^2 - \frac{25}{4}) = -\frac{4}{25}x^2 + 1$。

同様に、$C_2$を表す2次関数は、$y = -\frac{4}{25}(x + \frac{5}{2})(x - \frac{5}{2}) = -\frac{4}{25}x^2 + 1$。

$C_1$と$C_2$の頂点は、それぞれ$(0, 1)$である。

次に、仮定2より、$C_3$は$x$軸上の点$(\frac{3}{2}, 0)$から出て、$C_1$と$C_2$の頂点$(0, 1)$を通る。$C_3$の式を$y = ax^2 + bx + c$とおくと、問題文より$c$ = セである。

点$(\frac{3}{2}, 0)$を通るので、与えられた式に代入し、$a(\frac{3}{2})^2 + b(\frac{3}{2}) + 1 = 0$より、$\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + 1 = 0$。$y = ax^2 + bx + 1$は点$(0, 1)$も通るので、与えられた式は$y = a(x - \frac{3}{2})^2 + k$とおける。

$y = a(x - \frac{3}{2})^2 + k$は点(0, 1)を通るので、$1 = a(\frac{9}{4}) + k$, $k = 1 - a(\frac{9}{4})$. よって、$y = a(x - \frac{3}{2})^2 + 1 - a(\frac{9}{4})$

$y = a(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + 1 - \frac{9}{4}a = ax^2 - 3ax + 1$

これにより、$b = -3a$ となる。最初の式に代入すると、$\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}(-3a) + 1 = 0$ より $\frac{9}{4}a - \frac{9}{2}a = -1$, $-\frac{9}{4}a = -1$, $a = \frac{4}{9}$

$a = \frac{4}{9}$, $b = -3a = -\frac{4}{3}$, $c = 1$となり、$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{3}x + 1$。

$y = \frac{4}{9}(x^2 - 3x) + 1 = \frac{4}{9}(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2) - \frac{4}{9}(\frac{9}{4}) + 1 = \frac{4}{9}(x - \frac{3}{2})^2 - 1 + 1$

よって、$y = \frac{4}{9}(x - \frac{3}{2})^2$. 頂点は$(\frac{3}{2}, 0)$を通る。

ここでやり方を変え、$C_3$の式を$y=ax^2+bx+1$とおく。

C3の頂点のx座標は $-\frac{b}{2a}$ であり、y座標は $1-\frac{b^2}{4a}$である。C3はC1,C2の頂点(0,1)を通るので、

与えられた放物線は$y = a(x-\frac{3}{2})^2$とおける。この式に(0,1)を代入すると、$1 = a (\frac{9}{4})$, よって$a = \frac{4}{9}$。

したがって、$y = \frac{4}{9} (x-\frac{3}{2})^2 = \frac{4}{9} x^2 - \frac{4}{3} x + 1$

$y$座標は $1-\frac{(-4/3)^2}{4(4/9)}=1-\frac{16/9}{16/9}=0$である。x軸との交点は $(\frac{3}{2},0)$

C3の頂点のy座標は $1-\frac{(-4/3)^2}{4*4/9}=1-\frac{16/9}{16/9} = 1 - 1 = 0$となる。

$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{3} x+ 1= \frac{4}{9} (x^2 - 3x + \frac{9}{4})= \frac{4}{9} (x-\frac{3}{2})^2$

中央の放物線の高さは$y=A(x-3/2)^2$とおける。(0,1)を通るので$1 =A*(\frac{9}{4})$, よって $A=4/9$。 よって $y=4/9(x-3/2)^2 = 4/9x^2-4/3x+1$

頂点のy座標は$1-b^2/4a= 1-(-4/3)^2/(4(4/9)= 0$, となる。

$C_3$は、$x=0$で$y=1$なので、頂点の座標を$(\frac{3}{2}, t)$とおくと、$y = a(x - \frac{3}{2})^2 + t$と表せる。点$(0, 1)$を通るので、$1 = a(\frac{9}{4}) + t$。

$C_1$の頂点の$y$座標は$1$である。

したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの $\boxed{およそ2倍}$ である。

3. 最終的な答え

セ = 1

ソ = 4

タ = 9

チ = 4

ツ = 3

したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの $\boxed{およそ2倍}$ である。