与えられた複数の行列に対して、簡約化（階段行列への変形）、階数の算出、および行列式の算出を行う問題です。(6)番の行列については、$a-b \neq 0, b-c \neq 0, c-a \neq 0$という条件が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた複数の行列に対して、簡約化（階段行列への変形）、階数の算出、および行列式の算出を行う問題です。(6)番の行列については、$a-b \neq 0, b-c \neq 0, c-a \neq 0$という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

各行列について、以下の手順で計算を行います。

(1) 行列の簡約化:

基本変形（行の入れ替え、行の定数倍、行の定数倍の加算）を繰り返し、階段行列（より厳密には簡約階段行列）に変形します。

(2) 階数の算出:

簡約化された行列において、0でない行の数を数えます。これが階数となります。

(3) 行列式の算出:

与えられた行列に対して、行列式を計算します。基本変形を用いる場合、行の入れ替えは行列式の符号を変え、行の定数倍は行列式を定数倍します。行の定数倍の加算は行列式の値を変更しません。簡約化された行列が正方行列の場合、対角成分の積が行列式となります。

行列式を計算する際には、以下の公式が役立つ場合があります。

2x2行列の場合:

$$

\begin{vmatrix}

a & b \\

c & d

\end{vmatrix} = ad - bc

$$

3x3行列の場合:

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

$$

また、ヴァンデルモンド行列（(6)）の行列式は以下のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

1 & a & a^2 \\

1 & b & b^2 \\

1 & c & c^2

\end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)

$$

いくつかの行列について解いてみます。

(1)

$$

\begin{pmatrix}

2 & 16 & 3 \\

4 & 8 & -6 \\

4 & 8 & 12

\end{pmatrix}

$$

まず、1行目を1/2倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 8 & 3/2 \\

4 & 8 & -6 \\

4 & 8 & 12

\end{pmatrix}

$$

次に、2行目から1行目の4倍を引き、3行目から1行目の4倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 8 & 3/2 \\

0 & -24 & -12 \\

0 & -24 & 6

\end{pmatrix}

$$

3行目から2行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 8 & 3/2 \\

0 & -24 & -12 \\

0 & 0 & 18

\end{pmatrix}

$$

階数は3です。行列式は、元の行列で計算すると

$2(8*12 - (-6)*8) - 16(4*12 - (-6)*4) + 3(4*8 - 8*4) = 2(96+48) - 16(48 + 24) + 3(0) = 2*144 - 16*72 = 288 - 1152 = -864$

(6)

$$

\begin{pmatrix}

1 & a & a^2 \\

1 & b & b^2 \\

1 & c & c^2

\end{pmatrix}

$$

これはヴァンデルモンド行列なので、行列式は$(b-a)(c-a)(c-b)$となります。条件$a-b \neq 0, b-c \neq 0, c-a \neq 0$より、行列式は0ではありません。

階数は3です。

3. 最終的な答え

(1) 階数: 3, 行列式: -864

(6) 階数: 3, 行列式: $(b-a)(c-a)(c-b)$