$\frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b} = \frac{a+b}{c} = k$ とするとき、以下の各条件の下で $k$ の値を求める。 (1) $a+b+c \neq 0$ の場合 (2) $a+b+c = 0$ の場合

1. 問題の内容

$\frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b} = \frac{a+b}{c} = k$ とするとき、以下の各条件の下で $k$ の値を求める。

(1) $a+b+c \neq 0$ の場合

(2) $a+b+c = 0$ の場合

2. 解き方の手順

(1) $a+b+c \neq 0$ の場合

$\frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b} = \frac{a+b}{c} = k$ より、

$b+c = ak$

$c+a = bk$

$a+b = ck$

これらの式をすべて足し合わせると、

$2(a+b+c) = (a+b+c)k$

$a+b+c \neq 0$ より、両辺を $a+b+c$ で割ると、

$k = 2$

(2) $a+b+c = 0$ の場合

$b+c = ak$ より、 $b+c = -a$ を代入すると、

$-a = ak$

$a \neq 0$ ならば、 $k = -1$

同様に、$c+a = bk$ より、$c+a = -b$ を代入すると、

$-b = bk$

$b \neq 0$ ならば、$k = -1$

$a+b = ck$ より、$a+b = -c$ を代入すると、

$-c = ck$

$c \neq 0$ ならば、$k = -1$

もし、$a = 0$ なら、$b+c = 0$ である。

このとき、$b = -c$ であり、$b,c \neq 0$。

$\frac{c+a}{b} = \frac{c}{b} = \frac{c}{-c} = -1$

$\frac{a+b}{c} = \frac{b}{c} = \frac{-c}{c} = -1$

よって、$k = -1$。

$b = 0$ または $c = 0$ の場合も同様に $k = -1$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $a+b+c \neq 0$ の場合:

$k = 2$

(2) $a+b+c = 0$ の場合:

$k = -1$