2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + b$ が与えられており、$a$ と $b$ は定数で、$a>0$ である。また、$f(x)$ の最小値は2である。 (1) $b$ を $a$ を用いて表す。 (2) $x \ge 2$ における $f(x)$ の最小値が4であるような $a$ の値を求める。 (3) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値と最小値の差が3であるような $a$ の値を求める。

## 問題 5

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + b$ が与えられており、$a$ と $b$ は定数で、$a>0$ である。また、$f(x)$ の最小値は2である。

(1) $b$ を $a$ を用いて表す。

(2) $x \ge 2$ における $f(x)$ の最小値が4であるような $a$ の値を求める。

(3) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値と最小値の差が3であるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2ax + b = (x-a)^2 - a^2 + b$

$a>0$ なので、最小値は $x=a$ のとき、$f(a) = -a^2 + b = 2$ となる。

よって、$b = a^2 + 2$。

(2) $x \ge 2$ における $f(x)$ の最小値が4である。

$a>0$ より、軸 $x=a$ と区間 $x \ge 2$ の位置関係によって場合分けを行う。

(i) $a \ge 2$ のとき、$x=a$ で最小値をとるので、$f(a) = 2$ となる。しかしこれは $x \ge 2$ における最小値が4であることに矛盾するので不適。

(ii) $0 < a < 2$ のとき、$x=2$ で最小値をとるので、$f(2) = 2^2 - 2a(2) + b = 4 - 4a + b = 4$

$b = a^2 + 2$ を代入して、$4 - 4a + a^2 + 2 = 4$

$a^2 - 4a + 2 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

$0 < a < 2$ より、$a = 2 - \sqrt{2}$。

(3) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値と最小値の差が3である。

軸 $x=a$ と区間 $0 \le x \le 2$ の位置関係によって場合分けを行う。

(i) $0 < a \le 2$ のとき、$x=a$ で最小値 $f(a) = 2$ をとる。最大値は、$x=0$ または $x=2$ のどちらか。

$f(0) = b = a^2 + 2$, $f(2) = 4 - 4a + b = a^2 - 4a + 6$

(a) $f(0) > f(2)$ のとき、最大値は $f(0) = a^2 + 2$ なので、

$(a^2 + 2) - 2 = 3$

$a^2 = 3$

$a = \pm \sqrt{3}$

$0 < a \le 2$ より、$a = \sqrt{3}$

(b) $f(0) < f(2)$ のとき、最大値は $f(2) = a^2 - 4a + 6$ なので、

$(a^2 - 4a + 6) - 2 = 3$

$a^2 - 4a + 1 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$0 < a \le 2$ より、$a = 2 - \sqrt{3}$。

(ii) $a > 2$ のとき、$0 \le x \le 2$ において $f(x)$ は単調減少なので、最小値は $f(2) = a^2 - 4a + 6$、最大値は $f(0) = a^2 + 2$。

$(a^2 + 2) - (a^2 - 4a + 6) = 3$

$4a - 4 = 3$

$4a = 7$

$a = \frac{7}{4} = 1.75$

これは $a > 2$ に矛盾するので不適。

まとめると、$a = \sqrt{3}, 2-\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $b = a^2 + 2$

(2) $a = 2 - \sqrt{2}$

(3) $a = \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$