線形写像 $f: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} ax_1 + bx_2 \\ cx_1 + dx_2 \end{pmatrix}$ が同型写像であるかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

線形写像 $f: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} ax_1 + bx_2 \\ cx_1 + dx_2 \end{pmatrix}$ が同型写像であるかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

線形写像が同型写像であるための必要十分条件は、その像が全射であり、核が自明であることです。これは、表現行列の行列式が0でないことと同値です。

線形写像 $f$ の表現行列 $A$ は、

$$$$

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

$$$$

で与えられます。$f$ が同型写像であるための条件は、$A$ が正則行列であること、つまり $\det(A) \neq 0$ であることです。

$\det(A) = ad - bc$ です。

したがって、$ad - bc \neq 0$ ならば $f$ は同型写像であり、$ad - bc = 0$ ならば $f$ は同型写像ではありません。

3. 最終的な答え

$ad - bc \neq 0$ のとき同型写像であり、$ad - bc = 0$ のとき同型写像ではない。