ベクトル $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられ、集合 $T = \{a_1, a_2, a_3\}$ が定義されています。 (i) $cc(T) + e_1$ を平面上に図示する。 (ii) $(cc(T))^* + e_2$ を平面上に図示する（ただし、$(cc(T))^*$ は $cc(T)$ の極錐を表す）。 (iii) $(cc(T) + e_1) \cap ((cc(T))^* + \alpha e_2) \neq \emptyset$ を満たす最小の $\alpha$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられ、集合 $T = \{a_1, a_2, a_3\}$ が定義されています。

(i) $cc(T) + e_1$ を平面上に図示する。

(ii) $(cc(T))^* + e_2$ を平面上に図示する（ただし、$(cc(T))^*$ は $cc(T)$ の極錐を表す）。

(iii) $(cc(T) + e_1) \cap ((cc(T))^* + \alpha e_2) \neq \emptyset$ を満たす最小の $\alpha$ を求める。

2. 解き方の手順

(i) $cc(T)$ は $T$ の凸包です。$a_1, a_2, a_3$ を頂点とする三角形を考えます。$cc(T) + e_1$ は、この三角形を $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ だけ平行移動したものです。したがって、$cc(T)+e_1$は頂点が$a_1+e_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_2+e_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \end{pmatrix}$, $a_3+e_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$である三角形になります。

(ii) $(cc(T))^*$ は $cc(T)$ の極錐です。極錐の定義より、$(cc(T))^* = \{x : \langle x, y \rangle \le 0, \forall y \in cc(T) \}$ です。

$T = \{a_1, a_2, a_3\}$ に対して、凸包 $cc(T)$ の極錐 $(cc(T))^*$ は、不等式 $\langle x, a_i \rangle \le 0$ を満たす $x$ の集合となります。つまり、

$x_1 + 3x_2 \le 0$

$x_1 + 9x_2 \le 0$

$-x_1 + 3x_2 \le 0$

となります。これらを解くと、

$x_1 = -3x_2$のとき、$x_1 + 9 x_2 = 6 x_2 <=0$ より、$x_2 <=0$となり、$x_1>=0$

$x_1 = -3 x_2$のとき、$-x_1 + 3 x_2 = 6 x_2 <=0$ より、$x_2<=0$となり、$x_1>=0$

$x_1 <= -3 x_2$ であり、$x_1 >= -9 x_2$ となります。

したがって、$(cc(T))^*$ は $x_2 \le 0$ かつ $-9x_2 \le x_1 \le -3x_2$ を満たす領域になります。これは、原点から伸びる2つの半直線、$x_1 = -3x_2$ ($x_2 \le 0$) と $x_1 = -9x_2$ ($x_2 \le 0$) で囲まれた扇形の領域を表します。

$(cc(T))^* + e_2$ は、この扇形を $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ だけ平行移動したものです。したがって、頂点が$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$から伸びる扇形になります。

(iii) $(cc(T) + e_1) \cap ((cc(T))^* + \alpha e_2) \neq \emptyset$ を満たす最小の $\alpha$ を求めます。これは、平行移動された三角形と扇形が交点を持つような最小の $\alpha$ を求める問題です。

$a_1+e_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $a_2+e_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \end{pmatrix}$, $a_3+e_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$である三角形の領域と、$x_2 \le \alpha$ かつ $-9(x_2 - \alpha) \le x_1 \le -3(x_2 - \alpha)$　である扇形の領域が交点を持つとき、最小の $\alpha$ はいくつか、という問題に帰着されます。

三角形の頂点の中でもっともy座標が大きい$a_2 + e_1 = (2,9)$について考えます。極錐の方は$x_1 = -3x_2$の直線と$x_1=-9x_2$の直線の間にあります。

ここで、x座標が2になる時の極錐のy座標を考えると、$x_1 = -3x_2$の時、$2 = -3(x_2-\alpha)$より、$x_2 = \alpha - 2/3$

$x_1 = -9x_2$の時、$2 = -9(x_2-\alpha)$より、$x_2 = \alpha - 2/9$

したがって、$\alpha - 2/3 \le 9$ and $\alpha - 2/9 \le 9$

$\alpha \le 9 + 2/3$ and $\alpha \le 9 + 2/9$

したがって、$9+2/9$を考えると、$9 + 2/9 = (81+2)/9 = 83/9 = 9.222...$

三角形の頂点の中でもっともy座標が小さい頂点$a_3+e_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$について考えます。

原点と$a_2+e_1=(2,9)$を通る直線の式は、$y = (9/2)x$なので、原点と三角形が接する時の傾きを考えると、極錐の$x_1=-3x_2$を通る直線が接する時は、$x_1 = -3(x_2-\alpha)$より$2 = -3(9-\alpha)$。

$a_1+e_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $y=(3/2)x$。よって$2 = -3(3-\alpha)$。

これらのグラフを描画し、最小の $\alpha$ を求める必要があります。

原点が(1,0),極錐の半直線$x_1 = -3(x_2-\alpha)$が（2,3)と接する時、$-3x_2+3\alpha -2=0, y-3/2x=0$。

3. 最終的な答え

$\alpha = 3$