問題(6)は、次の式を計算する問題です。 $\frac{1}{1+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+2}$

わかりました。問題文の指示に従って、問題(6)を解いていきます。

1. 問題の内容

問題(6)は、次の式を計算する問題です。

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+2}$

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。

* 第1項：

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = -1+\sqrt{2} = \sqrt{2}-1$

* 第2項：

$\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2-3} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = -2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$

* 第3項：

$\frac{1}{\sqrt{3}+2} = \frac{1}{\sqrt{3}+2} \times \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2} = \frac{\sqrt{3}-2}{3-4} = \frac{\sqrt{3}-2}{-1} = -\sqrt{3}+2 = 2-\sqrt{3}$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$(\sqrt{2}-1) - (-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})$

$=\sqrt{2}-1 + 2\sqrt{2}-2\sqrt{3} + 2-\sqrt{3}$

$=(\sqrt{2}+2\sqrt{2}) + (-2\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (-1+2)$

$=3\sqrt{2} - 3\sqrt{3} + 1$

$=1+3\sqrt{2}-3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$1+3\sqrt{2}-3\sqrt{3}$