与えられた式 $(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2$ を展開して簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2$ を展開して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)(x^2+x+1)$ を展開します。

$$(x+1)(x^2+x+1) = x(x^2+x+1) + 1(x^2+x+1) = x^3 + x^2 + x + x^2 + x + 1 = x^3 + 2x^2 + 2x + 1$$

次に、$(x^2-x+1)^2$ を展開します。

\begin{align*} (x^2-x+1)^2 &= (x^2-x+1)(x^2-x+1) \\ &= x^2(x^2-x+1) -x(x^2-x+1) + 1(x^2-x+1) \\ &= x^4 - x^3 + x^2 - x^3 + x^2 - x + x^2 - x + 1 \\ &= x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1 \end{align*}

したがって、

$$(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2 = (x^3+2x^2+2x+1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1)$$

さらに展開すると、

\begin{align*} &(x^3+2x^2+2x+1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) \\ &= x^3(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) + 2x^2(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) \\ &+ 2x(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) + 1(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) \\ &= (x^7-2x^6+3x^5-2x^4+x^3) + (2x^6-4x^5+6x^4-4x^3+2x^2) \\ &+ (2x^5-4x^4+6x^3-4x^2+2x) + (x^4-2x^3+3x^2-2x+1) \\ &= x^7 + (-2+2)x^6 + (3-4+2)x^5 + (-2+6-4+1)x^4 \\ &+ (1-4+6-2)x^3 + (2-4+3)x^2 + (2-2)x + 1 \\ &= x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1 \end{align*}

しかし、別の解法として、

$(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2 = (x+1)(x^2+x+1)((x^2+1)-x)^2$

$(x+1)(x^2+x+1) = x^3+x^2+x+x^2+x+1 = x^3+2x^2+2x+1$は計算ミスであり、

$(x-1)(x^2+x+1) = x^3-1$ となることを利用する。

$(x+1)(x^2+x+1) = x^3+x^2+x+x^2+x+1 = x^3+2x^2+2x+1 \neq x^3-1$である。

$(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) = (x+1)((x^2+1)^2 - x^2) = (x+1)(x^4+2x^2+1-x^2) = (x+1)(x^4+x^2+1) = x^5+x^3+x+x^4+x^2+1=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

別のやり方として、$(x^2+x+1)(x^2-x+1) = (x^2+1+x)(x^2+1-x)=(x^2+1)^2-x^2 = x^4+2x^2+1-x^2 = x^4+x^2+1$

したがって、$(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2 = (x+1)(x^4+x^2+1)(x^2-x+1) = (x+1)(x^6-x^5+x^4+x^4-x^3+x^2+x^2-x+1) = (x+1)(x^6-x^5+2x^4-x^3+2x^2-x+1) = x^7-x^6+2x^5-x^4+2x^3-x^2+x+x^6-x^5+2x^4-x^3+2x^2-x+1 = x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1$

3. 最終的な答え

$x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1$