与えられた2次関数を平方完成させ、グラフの軸と頂点の座標を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題について、いくつか解いて説明します。

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成させ、グラフの軸と頂点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(2) $y = x^2 - 8x + 7$

* 平方完成を行います。$x$ の係数の半分である $-4$ を用いて、$(x-4)^2$ の形を作ります。

$y = (x - 4)^2 - 16 + 7$

* 定数項を整理します。

$y = (x - 4)^2 - 9$

* 頂点の座標は $(4, -9)$ となります。軸は $x = 4$ です。

(3) $y = 2x^2 + 4x$

* $x^2$ の係数である2で括ります。

$y = 2(x^2 + 2x)$

* 平方完成を行います。$x$ の係数の半分である $1$ を用いて、$(x+1)^2$ の形を作ります。

$y = 2((x + 1)^2 - 1)$

* 括弧を展開します。

$y = 2(x + 1)^2 - 2$

* 頂点の座標は $(-1, -2)$ となります。軸は $x = -1$ です。

(4) $y = -x^2 + 10x$

* $x^2$ の係数である-1で括ります。

$y = -(x^2 - 10x)$

* 平方完成を行います。$x$ の係数の半分である $-5$ を用いて、$(x-5)^2$ の形を作ります。

$y = -((x - 5)^2 - 25)$

* 括弧を展開します。

$y = -(x - 5)^2 + 25$

* 頂点の座標は $(5, 25)$ となります。軸は $x = 5$ です。

(5) $y = 3x^2 - 12x + 5$

* $x^2$ の係数である3で括ります。

$y = 3(x^2 - 4x) + 5$

* 平方完成を行います。$x$ の係数の半分である $-2$ を用いて、$(x-2)^2$ の形を作ります。

$y = 3((x - 2)^2 - 4) + 5$

* 括弧を展開します。

$y = 3(x - 2)^2 - 12 + 5$

* 定数項を整理します。

$y = 3(x - 2)^2 - 7$

* 頂点の座標は $(2, -7)$ となります。軸は $x = 2$ です。

(6) $y = -2x^2 + 8x - 1$

* $x^2$の係数である-2で括ります。

$y = -2(x^2 - 4x) - 1$

* 平方完成を行います。$x$ の係数の半分である $-2$ を用いて、$(x-2)^2$ の形を作ります。

$y = -2((x - 2)^2 - 4) - 1$

* 括弧を展開します。

$y = -2(x - 2)^2 + 8 - 1$

* 定数項を整理します。

$y = -2(x - 2)^2 + 7$

* 頂点の座標は $(2, 7)$ となります。軸は $x = 2$ です。

(7) $y = x^2 + \frac{1}{2}x + 3$

* 平方完成を行います。$x$ の係数の半分である $\frac{1}{4}$ を用いて、$(x+\frac{1}{4})^2$ の形を作ります。

$y = (x + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} + 3$

* 定数項を整理します。

$y = (x + \frac{1}{4})^2 + \frac{47}{16}$

* 頂点の座標は $(-\frac{1}{4}, \frac{47}{16})$ となります。軸は $x = -\frac{1}{4}$ です。

(8) $y = \frac{1}{2}x^2 - x + 4$

* $x^2$ の係数である $\frac{1}{2}$ で括ります。

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 2x) + 4$

* 平方完成を行います。$x$ の係数の半分である $-1$ を用いて、$(x-1)^2$ の形を作ります。

$y = \frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) + 4$

* 括弧を展開します。

$y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{1}{2} + 4$

* 定数項を整理します。

$y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{7}{2}$

* 頂点の座標は $(1, \frac{7}{2})$ となります。軸は $x = 1$ です。

(9) $y = -x^2 - 6x + 11$

* $x^2$の係数である-1で括ります。

$y = -(x^2 + 6x) + 11$

* 平方完成を行います。$x$ の係数の半分である $3$ を用いて、$(x+3)^2$ の形を作ります。

$y = -((x + 3)^2 - 9) + 11$

* 括弧を展開します。

$y = -(x + 3)^2 + 9 + 11$

* 定数項を整理します。

$y = -(x + 3)^2 + 20$

* 頂点の座標は $(-3, 20)$ となります。軸は $x = -3$ です。

(10) $y = 5x^2 + 10x + 4$

* $x^2$の係数である5で括ります。

$y = 5(x^2 + 2x) + 4$

* 平方完成を行います。$x$ の係数の半分である $1$ を用いて、$(x+1)^2$ の形を作ります。

$y = 5((x + 1)^2 - 1) + 4$

* 括弧を展開します。

$y = 5(x + 1)^2 - 5 + 4$

* 定数項を整理します。

$y = 5(x + 1)^2 - 1$

* 頂点の座標は $(-1, -1)$ となります。軸は $x = -1$ です。

3. 最終的な答え

各問題の答えは上記の手順の説明に含まれています。以下にまとめます。

* (2) 軸: $x=4$, 頂点: $(4, -9)$

* (3) 軸: $x=-1$, 頂点: $(-1, -2)$

* (4) 軸: $x=5$, 頂点: $(5, 25)$

* (5) 軸: $x=2$, 頂点: $(2, -7)$

* (6) 軸: $x=2$, 頂点: $(2, 7)$

* (7) 軸: $x=-\frac{1}{4}$, 頂点: $(-\frac{1}{4}, \frac{47}{16})$

* (8) 軸: $x=1$, 頂点: $(1, \frac{7}{2})$

* (9) 軸: $x=-3$, 頂点: $(-3, 20)$

* (10) 軸: $x=-1$, 頂点: $(-1, -1)$