与えられた式 $(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2$ を展開せよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(2)の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x^2 - x + 1)^2$を展開します。

$(x^2 - x + 1)^2 = (x^2 - x + 1)(x^2 - x + 1)$

$= x^4 - x^3 + x^2 - x^3 + x^2 - x + x^2 - x + 1$

$= x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

次に、与えられた式に代入します。

$(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2 = (x+1)(x^2+x+1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1)$

ここで、$(x+1)(x^2+x+1)$を計算します。

$(x+1)(x^2+x+1) = x^3 + x^2 + x + x^2 + x + 1 = x^3 + 2x^2 + 2x + 1$

したがって、

$(x+1)(x^2+x+1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) = (x^3 + 2x^2 + 2x + 1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1)$

これを展開します。

$= x^7 - 2x^6 + 3x^5 - 2x^4 + x^3 + 2x^6 - 4x^5 + 6x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 2x^5 - 4x^4 + 6x^3 - 4x^2 + 2x + x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

$= x^7 + (-2+2)x^6 + (3-4+2)x^5 + (-2+6-4+1)x^4 + (1-4+6-2)x^3 + (2-4+3)x^2 + (2-2)x + 1$

$= x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1$

3. 最終的な答え

$x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1$