$n \geq 3$ かつ $h > 0$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{1+h} \right)^n = 0$ となるか、という問題です。

1. 問題の内容

$n \geq 3$ かつ $h > 0$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{1+h} \right)^n = 0$ となるか、という問題です。

2. 解き方の手順

$h > 0$ であるので、$1+h > 1$ となり、$0 < \frac{1}{1+h} < 1$ が成り立ちます。

そこで、$r = \frac{1}{1+h}$ とおくと、$0 < r < 1$ です。

求める極限は、$\lim_{n \to \infty} n r^n$ となります。

この極限を計算するために、$x_n = n r^n$ とおき、$\frac{x_{n+1}}{x_n}$ を計算します。

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(n+1) r^{n+1}}{n r^n} = \frac{n+1}{n} r = \left( 1 + \frac{1}{n} \right) r$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{x_{n+1}}{x_n} \to r$ となります。

$0 < r < 1$ なので、十分大きな $n$ に対して $\frac{x_{n+1}}{x_n} < 1$ となります。

つまり、$x_{n+1} < x_n$ となるので、$x_n$ は単調減少する数列です。

また、$x_n > 0$ なので、下に有界です。

したがって、$x_n$ は収束します。

$L = \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} n r^n$ とおくと、

$L = \lim_{n \to \infty} (n+1) r^{n+1} = \lim_{n \to \infty} (n+1) r^{n+1} \frac{n r^n}{n r^n} = r \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) n r^n = r \times 1 \times L = rL$

$L = rL$ より $(1-r)L = 0$ となります。$r \neq 1$ なので、$L = 0$ となります。

したがって、$\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{1+h} \right)^n = 0$ となります。

3. 最終的な答え

はい、$\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{1+h} \right)^n = 0$ になります。