$n \geq 3$ かつ $h > 0$ のとき、極限 $\lim_{n \to \infty} n \left(\frac{1}{1+h}\right)^n$ は不定形になるかどうかを問う問題です。

1. 問題の内容

$n \geq 3$ かつ $h > 0$ のとき、極限 $\lim_{n \to \infty} n \left(\frac{1}{1+h}\right)^n$ は不定形になるかどうかを問う問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{1+h}$ の値に着目します。$h > 0$ であるため、$1+h > 1$ であり、したがって $0 < \frac{1}{1+h} < 1$ となります。

そこで、$r = \frac{1}{1+h}$ とおくと、$0 < r < 1$ です。与えられた極限は $\lim_{n \to \infty} nr^n$ と書き換えられます。

$0 < r < 1$ のとき、指数関数 $r^n$ は $n \to \infty$ で 0 に収束します。一方、$n$ は $n \to \infty$ で無限大に発散します。

したがって、与えられた極限は $\infty \times 0$ の形であり、これは不定形です。

しかし、$n$ の増加よりも $r^n$ の減少の方が圧倒的に速いため、極限は 0 に収束します。

数学的に示すには、比の判定法を使います。

$a_n = n r^n$ とすると、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)r^{n+1}}{nr^n} = \frac{n+1}{n} r = \left(1 + \frac{1}{n}\right) r$

$n \to \infty$ で、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r < 1$ となります。

したがって、$n$ が十分に大きいとき、$a_n$ は急速に減少していくことがわかります。

3. 最終的な答え

不定形ではありますが、極限は0に収束します。

$\lim_{n \to \infty} n \left(\frac{1}{1+h}\right)^n = 0$