与えられた行列 $A$ の階数 (rank $A$) を求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 5 & 3 & -2 \\ 1 & 6 & 1 & 3 \\ 1 & -5 & 0 & -7 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数 (rank $A$) を求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 5 & 3 & -2 \\ 1 & 6 & 1 & 3 \\ 1 & -5 & 0 & -7 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数を求めるには、行列を基本変形して簡約化し、0でない行の数を数えます。

1. 第2行から第1行の2倍を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$)。

2. 第3行から第1行を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - R_1$)。

3. 第4行から第1行を引きます ($R_4 \rightarrow R_4 - R_1$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 1 & -8 \end{pmatrix}$

4. 第3行から第2行の4倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 4R_2$)。

5. 第4行に第2行の7倍を足します ($R_4 \rightarrow R_4 + 7R_2$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & -18 & 18 \\ 0 & 0 & 36 & -36 \end{pmatrix}$

6. 第4行に第3行の2倍を足します ($R_4 \rightarrow R_4 + 2R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & -18 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

7. 第3行を-18で割ります ($R_3 \rightarrow -\frac{1}{18}R_3$)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された行列には3つの0でない行があるので、行列の階数は3です。

3. 最終的な答え

rank $A$ = 3