与えられた4x4の行列式 $d_2$ を計算し、因数分解した形で答える問題です。 $ d_2 = \begin{vmatrix} a & b & c & c \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列式 $d_2$ を計算し、因数分解した形で答える問題です。

$d_2 = \begin{vmatrix} a & b & c & c \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行または列に関する操作を行います。

まず、第一行に第二行を足し、第三行を足し、第四行を足します。

$d_2 = \begin{vmatrix} a+2c+b & b+2b+c & c+2a+b & c+2c+a \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix}$

この行列式は以下のように表せます。

$d_2 = \begin{vmatrix} a+b+2c & a+b+2c & a+b+2c & a+b+2c \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix}$

第一行から共通因子 $(a+b+2c)$ を取り出すと、以下のようになります。

$d_2 = (a+b+2c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix}$

次に、第二列から第一列を引き、第三列から第一列を引き、第四列から第一列を引きます。

$d_2 = (a+b+2c) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ c & b-c & a-c & 0 \\ b & c-b & b-b & a-b \\ c & b-c & c-c & a-c \end{vmatrix}$

$d_2 = (a+b+2c) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ c & b-c & a-c & 0 \\ b & c-b & 0 & a-b \\ c & b-c & 0 & a-c \end{vmatrix}$

この行列式は第一行に関して展開すると、次のようになります。

$d_2 = (a+b+2c) \begin{vmatrix} b-c & a-c & 0 \\ c-b & 0 & a-b \\ b-c & 0 & a-c \end{vmatrix}$

この3x3の行列式を計算します。

$d_2 = (a+b+2c) \left[ (b-c) \begin{vmatrix} 0 & a-b \\ 0 & a-c \end{vmatrix} - (a-c) \begin{vmatrix} c-b & a-b \\ b-c & a-c \end{vmatrix} \right]$

$d_2 = (a+b+2c) \left[ 0 - (a-c) ( (c-b)(a-c) - (a-b)(b-c) ) \right]$

$d_2 = -(a+b+2c) (a-c) ( ac - c^2 - ab + bc - ab + ac + b^2 - bc )$

$d_2 = -(a+b+2c) (a-c) ( 2ac - c^2 - 2ab + b^2 )$

$d_2 = -(a+b+2c) (a-c) ( -(c-b)^2 + 2a(c-b) )$

$d_2 = (a+b+2c) (c-a) ( (c-b)^2 - 2a(c-b) )$

$d_2 = (a+b+2c) (c-a) (c-b) (c-b - 2a)$

$d_2 = (a+b+2c) (c-a) (c-b) (c-b - 2a)$

3. 最終的な答え

$(a+b+2c)(c-a)(c-b)(c-b-2a)$