問題は2つの行列式 $d_1$ と $d_2$ の値を計算することです。$d_2$ の答えは因数分解された形式で求められます。 $d_1 = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & 9 \end{vmatrix}$ $d_2 = \begin{vmatrix} a & b & c & c \\ c & b & a & c \\ b & c & b & a \\ c & b & c & a \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

問題は2つの行列式 $d_1$ と $d_2$ の値を計算することです。$d_2$ の答えは因数分解された形式で求められます。

$d_1 = \begin{vmatrix}

-1 & 2 & 3 & 2 \\

1 & -1 & -2 & 1 \\

0 & 3 & 5 & 2 \\

2 & -2 & 6 & 9

\end{vmatrix}$

$d_2 = \begin{vmatrix}

a & b & c & c \\

c & b & a & c \\

b & c & b & a \\

c & b & c & a

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) $d_1$ の計算

行列式の計算を簡単にするために、行基本変形を行います。

まず、2行目を1行目に加えます。

$\begin{vmatrix}

0 & 1 & 1 & 3 \\

1 & -1 & -2 & 1 \\

0 & 3 & 5 & 2 \\

2 & -2 & 6 & 9

\end{vmatrix}$

次に、4行目から2倍の2行目を引きます。

$\begin{vmatrix}

0 & 1 & 1 & 3 \\

1 & -1 & -2 & 1 \\

0 & 3 & 5 & 2 \\

0 & 0 & 10 & 7

\end{vmatrix}$

1列目で展開します。

$(-1)^{2+1} \times 1 \times \begin{vmatrix}

1 & 1 & 3 \\

3 & 5 & 2 \\

0 & 10 & 7

\end{vmatrix} = -1 \times (1(35-20) - 1(21-0) + 3(30-0)) = -1 \times (15-21+90) = -1 \times 84 = -84$

(2) $d_2$ の計算

まず、1列目、2列目、3列目を足して、新しい1列目とします。

$\begin{vmatrix}

a+b+c & b & c & c \\

a+b+c & b & a & c \\

a+b+c & c & b & a \\

a+b+c & b & c & a

\end{vmatrix}$

1列目を$(a+b+c)$で括り出すと、

$(a+b+c)\begin{vmatrix}

1 & b & c & c \\

1 & b & a & c \\

1 & c & b & a \\

1 & b & c & a

\end{vmatrix}$

2行目から1行目を引く、3行目から1行目を引く、4行目から1行目を引くと、

$(a+b+c)\begin{vmatrix}

1 & b & c & c \\

0 & 0 & a-c & 0 \\

0 & c-b & b-c & a-c \\

0 & 0 & 0 & a-c

\end{vmatrix}$

1列目で展開すると、

$(a+b+c) \times 1 \times \begin{vmatrix}

0 & a-c & 0 \\

c-b & b-c & a-c \\

0 & 0 & a-c

\end{vmatrix}$

1行目で展開すると、

$(a+b+c) \times (-1)^{1+2} (a-c) \begin{vmatrix}

c-b & a-c \\

0 & a-c

\end{vmatrix} = -(a+b+c)(a-c)(c-b)(a-c) = -(a+b+c)(a-c)^2(c-b) = (a+b+c)(a-c)^2(b-c)$

3. 最終的な答え

(1) $d_1 = -84$

(2) $d_2 = (a+b+c)(a-c)^2(b-c)$