与えられた2変数関数 $h(x, y)$ の極値を求める問題です。具体的には、以下の2つの関数について極値を求める必要があります。 (4) $h(x, y) = x^2 - 5xy - 2y^2$ (5) $h(x, y) = x^3 - xy + \frac{1}{2}y^2$

1. 問題の内容

与えられた2変数関数 $h(x, y)$ の極値を求める問題です。具体的には、以下の2つの関数について極値を求める必要があります。

(4) $h(x, y) = x^2 - 5xy - 2y^2$

(5) $h(x, y) = x^3 - xy + \frac{1}{2}y^2$

2. 解き方の手順

(4) $h(x, y) = x^2 - 5xy - 2y^2$の場合

* **ステップ1: 偏微分を計算する**

$h_x = \frac{\partial h}{\partial x} = 2x - 5y$

$h_y = \frac{\partial h}{\partial y} = -5x - 4y$

* **ステップ2: 連立方程式を解く**

$h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を満たす $(x, y)$ を求める。

$2x - 5y = 0$

$-5x - 4y = 0$

この連立方程式を解くと、以下のようになります。

$2x = 5y$ より $x = \frac{5}{2}y$

これを $-5x - 4y = 0$ に代入すると、

$-5(\frac{5}{2}y) - 4y = 0$

$-\frac{25}{2}y - 4y = 0$

$-\frac{33}{2}y = 0$

よって、$y = 0$

$x = \frac{5}{2}y = \frac{5}{2}(0) = 0$

したがって、停留点は $(0, 0)$ です。

* **ステップ3: ヘッセ行列を計算する**

$h_{xx} = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = 2$

$h_{yy} = \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = -4$

$h_{xy} = \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} = -5$

$h_{yx} = \frac{\partial^2 h}{\partial y \partial x} = -5$

ヘッセ行列は以下の通りです。

$H = \begin{pmatrix} h_{xx} & h_{xy} \\ h_{yx} & h_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -5 & -4 \end{pmatrix}$

* **ステップ4: ヘッセ行列式を計算する**

$D = \det(H) = h_{xx}h_{yy} - (h_{xy})^2 = (2)(-4) - (-5)^2 = -8 - 25 = -33$

$D = -33 < 0$ なので、$(0, 0)$ は鞍点です。したがって、極値は存在しません。

(5) $h(x, y) = x^3 - xy + \frac{1}{2}y^2$の場合

* **ステップ1: 偏微分を計算する**

$h_x = \frac{\partial h}{\partial x} = 3x^2 - y$

$h_y = \frac{\partial h}{\partial y} = -x + y$

* **ステップ2: 連立方程式を解く**

$h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を満たす $(x, y)$ を求める。

$3x^2 - y = 0$

$-x + y = 0$

この連立方程式を解くと、以下のようになります。

$y = x$

これを $3x^2 - y = 0$ に代入すると、

$3x^2 - x = 0$

$x(3x - 1) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = \frac{1}{3}$

$x = 0$ のとき、$y = 0$

$x = \frac{1}{3}$ のとき、$y = \frac{1}{3}$

したがって、停留点は $(0, 0)$ と $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ です。

* **ステップ3: ヘッセ行列を計算する**

$h_{xx} = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = 6x$

$h_{yy} = \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 1$

$h_{xy} = \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} = -1$

$h_{yx} = \frac{\partial^2 h}{\partial y \partial x} = -1$

ヘッセ行列は以下の通りです。

$H = \begin{pmatrix} h_{xx} & h_{xy} \\ h_{yx} & h_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

* **ステップ4: ヘッセ行列式を計算する**

$D = \det(H) = h_{xx}h_{yy} - (h_{xy})^2 = (6x)(1) - (-1)^2 = 6x - 1$

* $(0, 0)$ の場合、$D = 6(0) - 1 = -1 < 0$ なので、$(0, 0)$ は鞍点です。

* $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ の場合、$D = 6(\frac{1}{3}) - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$ であり、$h_{xx} = 6(\frac{1}{3}) = 2 > 0$ なので、$(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ は極小点です。

極小値は $h(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})(\frac{1}{3}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2 - 6 + 3}{54} = -\frac{1}{54}$

3. 最終的な答え

(4) 極値なし (鞍点 (0,0))

(5) 極小値 $-\frac{1}{54}$ (点$(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$)