領域 $D = \{(x, y, z) | x^2 + y^2 \le x, z^2 \le 4x\}$ における三重積分 $\iiint_D dxdydz$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y, z) | x^2 + y^2 \le x, z^2 \le 4x\}$ における三重積分 $\iiint_D dxdydz$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を調べます。不等式 $x^2 + y^2 \le x$ は、$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 \le (\frac{1}{2})^2$ と変形できるので、これは中心 $(\frac{1}{2}, 0)$、半径 $\frac{1}{2}$ の円柱を表しています。

また、不等式 $z^2 \le 4x$ は、$-2\sqrt{x} \le z \le 2\sqrt{x}$ を表しています。

三重積分を計算するために、まず $xy$ 平面で積分範囲を決めます。

$x^2 + y^2 \le x$ から、

$0 \le x \le 1$ および $-\sqrt{x-x^2} \le y \le \sqrt{x-x^2}$ です。

次に、$z$ の積分範囲は $z^2 \le 4x$ から $-2\sqrt{x} \le z \le 2\sqrt{x}$ です。

したがって、三重積分は次のように表されます。

$\iiint_D dxdydz = \int_0^1 \int_{-\sqrt{x-x^2}}^{\sqrt{x-x^2}} \int_{-2\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}} dz\,dy\,dx$

まず、$z$ について積分します。

$\int_{-2\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}} dz = 4\sqrt{x}$

次に、$y$ について積分します。

$\int_{-\sqrt{x-x^2}}^{\sqrt{x-x^2}} 4\sqrt{x} dy = 4\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x-x^2} = 8\sqrt{x^2 - x^3}$

最後に、$x$ について積分します。

$\int_0^1 8\sqrt{x^2 - x^3} dx = 8\int_0^1 x\sqrt{1 - x} dx$

$x = 1 - t$ と変数変換すると、$dx = -dt$ であり、$x = 0$ のとき $t = 1$、$x = 1$ のとき $t = 0$ となります。

$8\int_0^1 x\sqrt{1 - x} dx = 8\int_1^0 (1 - t)\sqrt{t} (-dt) = 8\int_0^1 (1 - t)t^{1/2} dt = 8\int_0^1 (t^{1/2} - t^{3/2}) dt$

$8\int_0^1 (t^{1/2} - t^{3/2}) dt = 8[\frac{2}{3}t^{3/2} - \frac{2}{5}t^{5/2}]_0^1 = 8(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}) = 8(\frac{10 - 6}{15}) = 8(\frac{4}{15}) = \frac{32}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{15}$