画像に写っている数学の問題は、極限、関数、積分、広義積分、パラメータ表示された曲線に関する問題です。具体的には、以下の内容が含まれています。 * **2.** (1) 極限 $\lim_{x \to 0} (1-\cos x)^{\log x}$ を求める。 * **3.** 関数 $f(x) = e^{2x}$ に対して、微分可能であることを示し、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求め、マクローリン展開を求める。 * **4.** (1) $(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{x^2+1}$ であることを示す。 (2) 不定積分 $\int \frac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}}dx$ を求める。 (3) 定積分 $\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}}dx = a + b\sqrt{2}$ を満たす実数 $a$ と $b$ を求める。 * **5.** (1) 定積分 $\int_{0}^{\pi} (1-\cos x)^2 dx$ を求める。 (2) 定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin^4(\frac{x}{2}) dx$ を求める。 * **6.** (1) $\alpha > 0$ に対し、広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ が収束するための必要十分条件が $\alpha > 1$ であることを示す。 (2) 広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^3+x^2+1}} dx$ の収束・発散を判定する。 * **7.** パラメータ表示された曲線 $C: x = t - \sin t, y = 1 - \cos t$ ($0 \leq t \leq 2\pi$) について、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ で表し、Cとx軸が囲む部分の面積 $S_1$、曲線の長さ $L$、Cをx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積 $V$、回転体の表面積 $S_2$ を求める。

## 解答

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題は、極限、関数、積分、広義積分、パラメータ表示された曲線に関する問題です。具体的には、以下の内容が含まれています。

* **2.** (1) 極限 $\lim_{x \to 0} (1-\cos x)^{\log x}$ を求める。

* **3.** 関数 $f(x) = e^{2x}$ に対して、微分可能であることを示し、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求め、マクローリン展開を求める。

* **4.** (1) $(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{x^2+1}$ であることを示す。 (2) 不定積分 $\int \frac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}}dx$ を求める。 (3) 定積分 $\int_{-1}^{2} \frac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}}dx = a + b\sqrt{2}$ を満たす実数 $a$ と $b$ を求める。

* **5.** (1) 定積分 $\int_{0}^{\pi} (1-\cos x)^2 dx$ を求める。 (2) 定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin^4(\frac{x}{2}) dx$ を求める。

* **6.** (1) $\alpha > 0$ に対し、広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ が収束するための必要十分条件が $\alpha > 1$ であることを示す。 (2) 広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^3+x^2+1}} dx$ の収束・発散を判定する。

* **7.** パラメータ表示された曲線 $C: x = t - \sin t, y = 1 - \cos t$ ($0 \leq t \leq 2\pi$) について、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ で表し、Cとx軸が囲む部分の面積 $S_1$、曲線の長さ $L$、Cをx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積 $V$、回転体の表面積 $S_2$ を求める。

2. 解き方の手順

今回は、**2.**(1)の問題を解きます。

$\lim_{x \to 0} (1-\cos x)^{\log x}$ を求めます。

まず、$(1-\cos x)^{\log x} = e^{\log((1-\cos x)^{\log x})} = e^{\log x \cdot \log(1-\cos x)}$ と変形します。したがって、$\lim_{x \to 0} \log x \cdot \log(1-\cos x)$ を求める問題に帰着します。

$x \to 0$ のとき、$1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$ であることを利用すると、

$\lim_{x \to 0} \log x \cdot \log(1-\cos x) = \lim_{x \to 0} \log x \cdot \log(\frac{x^2}{2}) = \lim_{x \to 0} \log x \cdot (2 \log x - \log 2) = \lim_{x \to 0} (2(\log x)^2 - \log 2 \cdot \log x)$.

$x \to 0$ のとき、$\log x \to -\infty$ であり、$(\log x)^2$ も $\infty$ に発散します。

$\lim_{x \to 0} (2(\log x)^2 - \log 2 \cdot \log x) = \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} (1-\cos x)^{\log x} = \lim_{x \to 0} e^{\log x \cdot \log(1-\cos x)} = e^{\infty} = \infty$.

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} (1-\cos x)^{\log x} = \infty$