問題3：関数 $h(x, y) = x^2 + xy + y^2 - ax - by$ の極値を求める。 問題4(1)：条件 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、関数 $h(x, y) = xy$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

問題3：関数 $h(x, y) = x^2 + xy + y^2 - ax - by$ の極値を求める。

問題4(1)：条件 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、関数 $h(x, y) = xy$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

問題3：

関数 $h(x, y)$ の偏微分を計算する。

$\frac{\partial h}{\partial x} = 2x + y - a$

$\frac{\partial h}{\partial y} = x + 2y - b$

極値を持つ点では、これらの偏微分は両方とも0になる。

$2x + y - a = 0$

$x + 2y - b = 0$

この連立方程式を解いて $x$ と $y$ を $a$ と $b$ で表す。

上の式から $y = a - 2x$ を得て、下の式に代入すると

$x + 2(a - 2x) - b = 0$

$x + 2a - 4x - b = 0$

$-3x + 2a - b = 0$

$x = \frac{2a - b}{3}$

これを $y = a - 2x$ に代入すると

$y = a - 2(\frac{2a - b}{3}) = a - \frac{4a - 2b}{3} = \frac{3a - 4a + 2b}{3} = \frac{-a + 2b}{3}$

したがって、$x = \frac{2a - b}{3}$ および $y = \frac{-a + 2b}{3}$ が極値を持つ点の座標である。

次に、ヘッセ行列を計算する。

$\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = 2$

$\frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 2$

$\frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} = 1$

ヘッセ行列式 $D = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y})^2 = 2 \cdot 2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$D > 0$ かつ $\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} > 0$ であるため、この点は極小値である。

$h(\frac{2a - b}{3}, \frac{-a + 2b}{3}) = (\frac{2a - b}{3})^2 + (\frac{2a - b}{3})(\frac{-a + 2b}{3}) + (\frac{-a + 2b}{3})^2 - a(\frac{2a - b}{3}) - b(\frac{-a + 2b}{3})$

$= \frac{1}{9} (4a^2 - 4ab + b^2) + \frac{1}{9} (-2a^2 + 4ab + ab - 2b^2) + \frac{1}{9} (a^2 - 4ab + 4b^2) - \frac{1}{3} (2a^2 - ab) - \frac{1}{3} (-ab + 2b^2)$

$= \frac{1}{9} (4a^2 - 4ab + b^2 - 2a^2 + 5ab - 2b^2 + a^2 - 4ab + 4b^2) - \frac{1}{3} (2a^2 - ab - ab + 2b^2)$

$= \frac{1}{9} (3a^2 - 3ab + 3b^2) - \frac{1}{3} (2a^2 - 2ab + 2b^2) = \frac{1}{3}(a^2 - ab + b^2) - \frac{2}{3}(a^2 - ab + b^2) = -\frac{1}{3}(a^2 - ab + b^2)$

問題4(1)：

ラグランジュの未定乗数法を用いる。

$L(x, y, \lambda) = xy - \lambda (x^2 + y^2 - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = y - 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = x - 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^2 + y^2 - 1) = 0$

$y = 2\lambda x$

$x = 2\lambda y$

したがって、$x = 2\lambda (2\lambda x) = 4\lambda^2 x$

$x(1 - 4\lambda^2) = 0$

もし $x = 0$ ならば、$y = 0$ であり、$x^2 + y^2 = 1$ を満たさない。

したがって、$1 - 4\lambda^2 = 0$, $4\lambda^2 = 1$, $\lambda^2 = \frac{1}{4}$, $\lambda = \pm \frac{1}{2}$

$\lambda = \frac{1}{2}$ のとき、$y = x$ であり、$x^2 + y^2 = 1$ より、$2x^2 = 1$, $x^2 = \frac{1}{2}$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、$xy = \frac{1}{2}$

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、$xy = \frac{1}{2}$

$\lambda = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = -x$ であり、$x^2 + y^2 = 1$ より、$2x^2 = 1$, $x^2 = \frac{1}{2}$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、$xy = -\frac{1}{2}$

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、$xy = -\frac{1}{2}$

最大値は $\frac{1}{2}$ であり、最小値は $-\frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

問題3：極小値は $x = \frac{2a - b}{3}$, $y = \frac{-a + 2b}{3}$ であり、その値は $-\frac{1}{3}(a^2 - ab + b^2)$

問題4(1)：最大値は $\frac{1}{2}$ であり、最小値は $-\frac{1}{2}$