(1) $\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)^{\frac{1}{\log x}}$ を求めます。 (2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)^{\frac{1}{\log x}}$ を求めます。

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = (1 - \cos x)^{\frac{1}{\log x}}$ と置きます。両辺の対数をとると、

$\log y = \frac{1}{\log x} \log(1 - \cos x)$

ここで、$x \to 0$ のとき、$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ と近似できるので、

$\log(1 - \cos x) \sim \log(\frac{x^2}{2}) = 2 \log x - \log 2$

よって、

$\log y \sim \frac{2 \log x - \log 2}{\log x} = 2 - \frac{\log 2}{\log x}$

$x \to 0$ のとき、$\log x \to -\infty$ なので、$\frac{\log 2}{\log x} \to 0$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \log y = 2$

よって、

$\lim_{x \to 0} y = e^2$

(2)

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n(1 + \frac{k}{n})}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$

これは定積分で表すことができて、

$\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = [\log(1+x)]_0^1 = \log(1+1) - \log(1+0) = \log 2 - \log 1 = \log 2$

3. 最終的な答え

(1) $e^2$

(2) $\log 2$