関数 $f(x) = \frac{x \log x}{x^2 + 1}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。ただし、$x > 0$ とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x \log x}{x^2 + 1}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。ただし、$x > 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、商の微分公式を適用します。

商の微分公式は次の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x \log x$、$v = x^2 + 1$ とおきます。

$u' = (x \log x)' = x' \log x + x (\log x)' = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$v' = (x^2 + 1)' = 2x$

したがって、$f'(x)$ は次のようになります。

$f'(x) = \frac{(\log x + 1)(x^2 + 1) - (x \log x)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

これを展開して整理します。

$f'(x) = \frac{x^2 \log x + \log x + x^2 + 1 - 2x^2 \log x}{(x^2 + 1)^2}$

$f'(x) = \frac{-x^2 \log x + \log x + x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{-x^2 \log x + \log x + x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2}$