関数 $y = 2x^2 + 3x + 1$ において、$x$ の値が $4$ から $4+h$ まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 3x + 1$ において、$x$ の値が $4$ から $4+h$ まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

2. 解き方の手順

平均変化率は、$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ で求められます。

この問題では、$x_1 = 4$、$x_2 = 4+h$ なので、

まず、$f(4)$ を計算します。

$f(4) = 2(4)^2 + 3(4) + 1 = 2(16) + 12 + 1 = 32 + 12 + 1 = 45$

次に、$f(4+h)$ を計算します。

$f(4+h) = 2(4+h)^2 + 3(4+h) + 1 = 2(16 + 8h + h^2) + 12 + 3h + 1 = 32 + 16h + 2h^2 + 12 + 3h + 1 = 2h^2 + 19h + 45$

平均変化率を計算します。

$\frac{f(4+h) - f(4)}{(4+h) - 4} = \frac{(2h^2 + 19h + 45) - 45}{h} = \frac{2h^2 + 19h}{h} = \frac{h(2h + 19)}{h}$

$h \neq 0$ のとき、$h$ で約分できます。

$2h + 19$

3. 最終的な答え

$2h+19$