$\int_{0}^{\pi} \sinh(x) \sin^2(nx) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\pi} \sinh(x) \sin^2(nx) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2(nx)$ を三角関数の倍角公式を用いて書き換えます。

$\sin^2(nx) = \frac{1 - \cos(2nx)}{2}$

したがって、与えられた積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\pi} \sinh(x) \sin^2(nx) dx = \int_{0}^{\pi} \sinh(x) \left( \frac{1 - \cos(2nx)}{2} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sinh(x) dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sinh(x) \cos(2nx) dx$

ここで、$\int \sinh(x) dx = \cosh(x) + C$ であるため、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sinh(x) dx = \frac{1}{2} [\cosh(x)]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} (\cosh(\pi) - \cosh(0)) = \frac{1}{2} (\cosh(\pi) - 1)$

次に、$\int \sinh(x) \cos(2nx) dx$ を計算します。

部分積分を2回繰り返して求めます。

$\int \sinh(x) \cos(2nx) dx = \cosh(x) \cos(2nx) - \int \cosh(x) (-2n \sin(2nx)) dx = \cosh(x) \cos(2nx) + 2n \int \cosh(x) \sin(2nx) dx$

$= \cosh(x) \cos(2nx) + 2n \left[ \sinh(x) \sin(2nx) - \int \sinh(x) (2n \cos(2nx)) dx \right]$

$= \cosh(x) \cos(2nx) + 2n \sinh(x) \sin(2nx) - 4n^2 \int \sinh(x) \cos(2nx) dx$

よって、

$\int \sinh(x) \cos(2nx) dx = \cosh(x) \cos(2nx) + 2n \sinh(x) \sin(2nx) - 4n^2 \int \sinh(x) \cos(2nx) dx$

$(1 + 4n^2) \int \sinh(x) \cos(2nx) dx = \cosh(x) \cos(2nx) + 2n \sinh(x) \sin(2nx)$

$\int \sinh(x) \cos(2nx) dx = \frac{\cosh(x) \cos(2nx) + 2n \sinh(x) \sin(2nx)}{1 + 4n^2} + C$

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sinh(x) \cos(2nx) dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\cosh(x) \cos(2nx) + 2n \sinh(x) \sin(2nx)}{1 + 4n^2} \right]_{0}^{\pi}$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\cosh(\pi) \cos(2n\pi) + 2n \sinh(\pi) \sin(2n\pi)}{1 + 4n^2} - \frac{\cosh(0) \cos(0) + 2n \sinh(0) \sin(0)}{1 + 4n^2} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\cosh(\pi) \cdot 1 + 2n \sinh(\pi) \cdot 0}{1 + 4n^2} - \frac{1 \cdot 1 + 2n \cdot 0 \cdot 0}{1 + 4n^2} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\cosh(\pi) - 1}{1 + 4n^2} \right]$

元の積分は、

$\frac{1}{2} (\cosh(\pi) - 1) - \frac{1}{2} \left[ \frac{\cosh(\pi) - 1}{1 + 4n^2} \right] = \frac{1}{2} (\cosh(\pi) - 1) \left( 1 - \frac{1}{1 + 4n^2} \right) = \frac{1}{2} (\cosh(\pi) - 1) \left( \frac{4n^2}{1 + 4n^2} \right)$

$=\frac{2n^2(\cosh(\pi)-1)}{1+4n^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n^2(\cosh(\pi)-1)}{1+4n^2}$