与えられた数式の空欄を埋める問題です。数式は以下の通りです。 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{n(6n+7)}{8(n+1)(n+2)}$

1. 問題の内容

与えられた数式の空欄を埋める問題です。数式は以下の通りです。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{n(6n+7)}{8(n+1)(n+2)}$

2. 解き方の手順

まず、部分分数分解を用いて、$\frac{1}{k(k+2)}$ を簡単な形に分解します。

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$

両辺に $k(k+2)$ を掛けると、

$1 = A(k+2) + Bk$

$k = 0$ のとき、$1 = 2A$ より、$A = \frac{1}{2}$。

$k = -2$ のとき、$1 = -2B$ より、$B = -\frac{1}{2}$。

したがって、

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$

次に、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$

この和はtelescoping sum（隣り合う項が打ち消しあう和）になるので、

$\frac{1}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \cdots + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})]$

$= \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})$

$= \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)})$

$= \frac{1}{2} (\frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)})$

$= \frac{3(n^2+3n+2)-4n-6}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{3n^2+9n+6-4n-6}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

与えられた数式と比較すると、

$\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(6n+7)}{8(n+1)(n+2)}$ が成り立たない。元の式は正しくありません。

しかし、問題に答えるために、与えられた式が正しいものとして、空欄を埋めます。

すると、

3n+5を2倍すると6n+10なので、$3n+5= (6n+7)$ とはなりません。

したがって元の式は正しくありません。与えられた分数の係数は6と7でなく3と5で、8でなく4です。

元の式を$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{n(\Box n + \Box)}{\Box (n+1)(n+2)}$ と変形して空欄を埋めることを考えます。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}= \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$となるので、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{n(3 n + 5)}{4(n+1)(n+2)}$。

3. 最終的な答え

空欄は左から順に3, 5, 4です。