次の定積分を計算します。 $\int_0^{\pi/2} 2\ln x \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_0^{\pi/2} 2\ln x \, dx$

2. 解き方の手順

まず、定数2を積分の外に出します。

$2 \int_0^{\pi/2} \ln x \, dx$

次に、部分積分を使って $\int \ln x \, dx$ を計算します。

$u = \ln x$ と $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} \, dx$ と $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C$

したがって、

$2 \int_0^{\pi/2} \ln x \, dx = 2 [x \ln x - x]_0^{\pi/2}$

ここで、$x \ln x$ の $x \to 0$ の極限を計算します。これは不定形 $0 \cdot (-\infty)$ なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} x \ln x = \lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{1/x}$

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0} (-x) = 0$

したがって、

$2 [x \ln x - x]_0^{\pi/2} = 2 [(\frac{\pi}{2} \ln \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) - (0 - 0)] = 2 (\frac{\pi}{2} \ln \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) = \pi \ln \frac{\pi}{2} - \pi$

3. 最終的な答え

$\pi \ln \frac{\pi}{2} - \pi$