放物線 $y=x^2$ 上の異なる2点 $P(\alpha, \alpha^2)$ と $Q(\beta, \beta^2)$ における接線をそれぞれ $l, m$ とする。2直線 $l, m$ の交点を $R$ とする。 (1) 点 $R$ の座標を求める。 (2) 点 $P$ と $x$ 軸との距離および点 $Q$ と $x$ 軸との距離の和が2であるとき、点 $R$ の軌跡を求める。 (3) (2) の軌跡と放物線 $C$ によって囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ 上の異なる2点 $P(\alpha, \alpha^2)$ と $Q(\beta, \beta^2)$ における接線をそれぞれ $l, m$ とする。2直線 $l, m$ の交点を $R$ とする。

(1) 点 $R$ の座標を求める。

(2) 点 $P$ と $x$ 軸との距離および点 $Q$ と $x$ 軸との距離の和が2であるとき、点 $R$ の軌跡を求める。

(3) (2) の軌跡と放物線 $C$ によって囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 $P$ における接線 $l$ の方程式は $y' = 2x$ より、 $y - \alpha^2 = 2\alpha (x - \alpha)$ であるから、 $y = 2\alpha x - \alpha^2$ となる。

同様に、点 $Q$ における接線 $m$ の方程式は $y = 2\beta x - \beta^2$ となる。

2直線の交点 $R$ の座標を求めるために、2式を連立する。

$2\alpha x - \alpha^2 = 2\beta x - \beta^2$

$2(\alpha - \beta) x = \alpha^2 - \beta^2 = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta)$

$\alpha \neq \beta$ より、$x = \frac{\alpha + \beta}{2}$

$y = 2\alpha \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) - \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha\beta - \alpha^2 = \alpha\beta$

したがって、点 $R$ の座標は $\left( \frac{\alpha + \beta}{2}, \alpha\beta \right)$ である。

(2)

点 $P$ と $x$ 軸との距離および点 $Q$ と $x$ 軸との距離の和が2であるから、 $|\alpha^2| + |\beta^2| = 2$ である。

$\alpha^2 \ge 0$ かつ $\beta^2 \ge 0$ なので、$\alpha^2 + \beta^2 = 2$ である。

$x = \frac{\alpha + \beta}{2}$ より、$\alpha + \beta = 2x$ である。

$y = \alpha\beta$ より、$y = \alpha\beta$ である。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ より、 $(2x)^2 = 2 + 2y$

$4x^2 = 2 + 2y$

$2y = 4x^2 - 2$

$y = 2x^2 - 1$

ここで、$\alpha \neq \beta$ でなければならない。$\alpha = \beta$ のとき、$\alpha^2 + \beta^2 = 2\alpha^2 = 2$ なので、$\alpha = \pm 1$ である。

$\alpha = \beta = 1$ のとき $x = 1$ であり、$\alpha = \beta = -1$ のとき $x = -1$ である。

$|\alpha| = 1$, $|\beta| = 1$ なので、 $-1 < \alpha < 1$ かつ $-1 < \beta < 1$ とならない場合がある。

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta = 2 - 2y > 0$

$2 - 2(2x^2 - 1) > 0$

$2 - 4x^2 + 2 > 0$

$4 - 4x^2 > 0$

$x^2 < 1$

$-1 < x < 1$

(3)

$y = x^2$ と $y = 2x^2 - 1$ で囲まれた部分の面積は、$\int_{-1}^{1} (x^2 - (2x^2 - 1)) dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 - \frac{-1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 1: 2

(2) 2: 2, 3: 1, 4: -1, 5: 1

(3) 6: 4, 7: 3

点Rの座標は $(\frac{\alpha + \beta}{2}, \alpha \beta)$ である。点Rの軌跡は $y = 2x^2 - 1$ ($-1 < x < 1$) である。囲まれた部分の面積は $\frac{4}{3}$ である。