$x = \sqrt{6} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{6} - \sqrt{3}$のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{6} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{6} - \sqrt{3}$のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 - y^2$ を因数分解すると、$(x + y)(x - y)$となる。

$x$ と $y$ の値をそれぞれ代入して、$x + y$ と $x - y$ を計算する。

$x + y = (\sqrt{6} + \sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{6}$

$x - y = (\sqrt{6} + \sqrt{3}) - (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

よって、

$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = (2\sqrt{6})(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{18} = 4\sqrt{9 \times 2} = 4 \times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$12\sqrt{2}$