行列 $A = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ が与えられている。 (1) $A$ が直交行列であることを示す。 (2) 平面 $\mathbb{R}^2$ において、原点を頂点とし、2辺がベクトル $x_1$ と $x_2$ で与えられる正方形は、$A$ によってどのような図形に移るか。四角形、平行四辺形、長方形、正方形のうち、最も適切なものを一つ選び、その根拠となる直交行列の性質を二つ述べる。

1. 問題の内容

行列 $A = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ が与えられている。

(1) $A$ が直交行列であることを示す。

(2) 平面 $\mathbb{R}^2$ において、原点を頂点とし、2辺がベクトル $x_1$ と $x_2$ で与えられる正方形は、$A$ によってどのような図形に移るか。四角形、平行四辺形、長方形、正方形のうち、最も適切なものを一つ選び、その根拠となる直交行列の性質を二つ述べる。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ が直交行列であるためには、$A^T A = I$ を満たす必要がある。ここで、$A^T$ は $A$ の転置行列であり、$I$ は単位行列である。

まず、$A^T$ を求める。

$A^T = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

次に、$A^T A$ を計算する。

$A^T A = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \\ 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 & 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

したがって、$A$ は直交行列である。

(2) 直交行列による変換は、ベクトルの長さを変えず、角度を保つ。

原点を頂点とする正方形の2辺が $x_1$ と $x_2$ で与えられているとき、$x_1$ と $x_2$ は直交する。

$A$ による変換後、$x_1$ は $Ax_1$ に、$x_2$ は $Ax_2$ に移る。

$A$ は直交行列なので、$Ax_1$ と $Ax_2$ のなす角は $x_1$ と $x_2$ のなす角に等しく、90度である。

また、$|Ax_1| = |x_1|$、$|Ax_2| = |x_2|$ である。

したがって、正方形は $A$ によって変換されても、2辺の長さが等しく、直交する四角形であるため、正方形である。

直交行列の性質:

1. 長さを変えない (ノルムを保存する)

2. 角度を保つ (内積を保存する)

3. 最終的な答え

(1) $A$ は直交行列である。

(2) 正方形。直交行列の性質: 長さを変えない、角度を保つ。