問題3は、点A(0, 2)を通り傾きが1の直線$l$と、2点(k, 0), (0, k)を通る直線$m$がある。点Bは直線$l$と$m$の交点、点Cは点Bからx軸に下ろした垂線とx軸の交点である。$k > 2$のとき、 (1) 点Bの座標をkの式で表す。 (2) 台形OABCの面積が23 $cm^2$のとき、$k$の値を求める。

1. 問題の内容

問題3は、点A(0, 2)を通り傾きが1の直線$l$と、2点(k, 0), (0, k)を通る直線$m$がある。点Bは直線$l$と$m$の交点、点Cは点Bからx軸に下ろした垂線とx軸の交点である。$k > 2$のとき、

(1) 点Bの座標をkの式で表す。

(2) 台形OABCの面積が23 $cm^2$のとき、$k$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 直線$l$の方程式を求める。傾きが1で点(0, 2)を通るので、$y = x + 2$。

* 直線$m$の方程式を求める。2点(k, 0), (0, k)を通るので、傾きは $\frac{k - 0}{0 - k} = -1$。よって、$y = -x + k$。

* 点Bは直線$l$と$m$の交点なので、連立方程式を解く。

$y = x + 2$

$y = -x + k$

$x + 2 = -x + k$

$2x = k - 2$

$x = \frac{k - 2}{2}$

$y = \frac{k - 2}{2} + 2 = \frac{k - 2 + 4}{2} = \frac{k + 2}{2}$

点Bの座標は $(\frac{k - 2}{2}, \frac{k + 2}{2})$。

(2)

* 台形OABCの面積をkの式で表す。OA = 2, OC = $\frac{k - 2}{2}$, BC = $\frac{k + 2}{2}$なので、台形OABCの面積は、

$\frac{1}{2}(OA + BC) \times OC = \frac{1}{2}(2 + \frac{k + 2}{2}) \times \frac{k - 2}{2} = \frac{1}{2} (\frac{4 + k + 2}{2}) \times \frac{k - 2}{2} = \frac{1}{8} (k + 6)(k - 2)$

* 台形OABCの面積が23 $cm^2$なので、

$\frac{1}{8} (k + 6)(k - 2) = 23$

$(k + 6)(k - 2) = 184$

$k^2 + 4k - 12 = 184$

$k^2 + 4k - 196 = 0$

解の公式を使って$k$を求める。

$k = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-196)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 784}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{800}}{2} = \frac{-4 \pm 20\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 10\sqrt{2}$

$k > 2$より、$k = -2 + 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標は $(\frac{k - 2}{2}, \frac{k + 2}{2})$。

(2) $k = -2 + 10\sqrt{2}$