$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x^2 + y^2 \le 2025$, $x \ge 3y$ を満たす整数の組 $(x, y)$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x^2 + y^2 \le 2025$, $x \ge 3y$ を満たす整数の組 $(x, y)$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた条件から、$x$ と $y$ は非負の整数であり、$x^2 + y^2 \le 2025$ かつ $x \ge 3y$ を満たす必要があります。

まず、$y$ の値を固定して、$x$ の取りうる値を考えます。

$x \ge 3y$ より、$y \le x/3$ です。 また、$x^2 \le x^2 + y^2 \le 2025$ なので、$x \le \sqrt{2025} = 45$ です。

$y = 0$ のとき、$x^2 \le 2025$ かつ $x \ge 0$ なので、$0 \le x \le 45$。よって、$x$ は 46 個の整数値を取れます。

$y = 1$ のとき、$x^2 + 1 \le 2025$ かつ $x \ge 3$ なので、$x^2 \le 2024$。$x \le \sqrt{2024} \approx 44.98$ より、$3 \le x \le 44$。よって、$x$ は $44 - 3 + 1 = 42$ 個の整数値を取れます。

$y = 2$ のとき、$x^2 + 4 \le 2025$ かつ $x \ge 6$ なので、$x^2 \le 2021$。$x \le \sqrt{2021} \approx 44.95$ より、$6 \le x \le 44$。よって、$x$ は $44 - 6 + 1 = 39$ 個の整数値を取れます。

$y = 3$ のとき、$x^2 + 9 \le 2025$ かつ $x \ge 9$ なので、$x^2 \le 2016$。$x \le \sqrt{2016} \approx 44.89$ より、$9 \le x \le 44$。よって、$x$ は $44 - 9 + 1 = 36$ 個の整数値を取れます。

$y = 4$ のとき、$x^2 + 16 \le 2025$ かつ $x \ge 12$ なので、$x^2 \le 2009$。$x \le \sqrt{2009} \approx 44.82$ より、$12 \le x \le 44$。よって、$x$ は $44 - 12 + 1 = 33$ 個の整数値を取れます。

$y = 5$ のとき、$x^2 + 25 \le 2025$ かつ $x \ge 15$ なので、$x^2 \le 2000$。$x \le \sqrt{2000} \approx 44.72$ より、$15 \le x \le 44$。よって、$x$ は $44 - 15 + 1 = 30$ 個の整数値を取れます。

$y = 6$ のとき、$x^2 + 36 \le 2025$ かつ $x \ge 18$ なので、$x^2 \le 1989$。$x \le \sqrt{1989} \approx 44.60$ より、$18 \le x \le 44$。よって、$x$ は $44 - 18 + 1 = 27$ 個の整数値を取れます。

$y = 7$ のとき、$x^2 + 49 \le 2025$ かつ $x \ge 21$ なので、$x^2 \le 1976$。$x \le \sqrt{1976} \approx 44.45$ より、$21 \le x \le 44$。よって、$x$ は $44 - 21 + 1 = 24$ 個の整数値を取れます。

$y = 8$ のとき、$x^2 + 64 \le 2025$ かつ $x \ge 24$ なので、$x^2 \le 1961$。$x \le \sqrt{1961} \approx 44.28$ より、$24 \le x \le 44$。よって、$x$ は $44 - 24 + 1 = 21$ 個の整数値を取れます。

$y = 9$ のとき、$x^2 + 81 \le 2025$ かつ $x \ge 27$ なので、$x^2 \le 1944$。$x \le \sqrt{1944} \approx 44.09$ より、$27 \le x \le 44$。よって、$x$ は $44 - 27 + 1 = 18$ 個の整数値を取れます。

$y = 10$ のとき、$x^2 + 100 \le 2025$ かつ $x \ge 30$ なので、$x^2 \le 1925$。$x \le \sqrt{1925} \approx 43.87$ より、$30 \le x \le 43$。よって、$x$ は $43 - 30 + 1 = 14$ 個の整数値を取れます。

$y = 11$ のとき、$x^2 + 121 \le 2025$ かつ $x \ge 33$ なので、$x^2 \le 1904$。$x \le \sqrt{1904} \approx 43.63$ より、$33 \le x \le 43$。よって、$x$ は $43 - 33 + 1 = 11$ 個の整数値を取れます。

$y = 12$ のとき、$x^2 + 144 \le 2025$ かつ $x \ge 36$ なので、$x^2 \le 1881$。$x \le \sqrt{1881} \approx 43.37$ より、$36 \le x \le 43$。よって、$x$ は $43 - 36 + 1 = 8$ 個の整数値を取れます。

$y = 13$ のとき、$x^2 + 169 \le 2025$ かつ $x \ge 39$ なので、$x^2 \le 1856$。$x \le \sqrt{1856} \approx 43.08$ より、$39 \le x \le 43$。よって、$x$ は $43 - 39 + 1 = 5$ 個の整数値を取れます。

$y = 14$ のとき、$x^2 + 196 \le 2025$ かつ $x \ge 42$ なので、$x^2 \le 1829$。$x \le \sqrt{1829} \approx 42.77$ より、$42 \le x \le 42$。よって、$x$ は $42 - 42 + 1 = 1$ 個の整数値を取れます。

$y = 15$ のとき、$x \ge 45$、$x^2 + 225 \le 2025$ なので、$x^2 \le 1800$, $x \le \sqrt{1800} \approx 42.43$を満たすので、条件を満たす$x$は存在しません。

したがって、求める整数の組の個数は、

$46 + 42 + 39 + 36 + 33 + 30 + 27 + 24 + 21 + 18 + 14 + 11 + 8 + 5 + 1 = 355$ 個です。

3. 最終的な答え

355