与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ を展開して整理し、簡略化された形を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ を展開して整理し、簡略化された形を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)$ と $(ab+bc+ca)$ の積を展開します。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca)$

次に、それぞれの項を展開します。

$a(ab+bc+ca) = a^2b + abc + ca^2$

$b(ab+bc+ca) = ab^2 + b^2c + abc$

$c(ab+bc+ca) = abc + bc^2 + c^2a$

これらの結果を合計します。

$(a^2b + abc + ca^2) + (ab^2 + b^2c + abc) + (abc + bc^2 + c^2a) = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

したがって、

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

与えられた式は $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ なので、上記の展開結果から $abc$ を引きます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc - abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

この式は、対称式としてより整理することが難しいので、これが最終的な形とします。

3. 最終的な答え

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$