## (1) 問題の内容

## (1) 問題の内容

$a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2)$ を因数分解する。

## (1) 解き方の手順

まず、式を展開する。

$a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、$a$ について降べきの順に整理する。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = (c-b)a^2 + (b^2 - c^2)a + bc^2 - cb^2$

$b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$ なので、

$(c-b)a^2 + (b-c)(b+c)a + bc^2 - cb^2 = (c-b)a^2 + (b-c)(b+c)a + bc(c-b)$

$(c-b)$ でくくる。

$(c-b)a^2 + (b-c)(b+c)a + bc(c-b) = (c-b)[a^2 - (b+c)a + bc]$

括弧内を因数分解する。

$(c-b)[a^2 - (b+c)a + bc] = (c-b)(a-b)(a-c)$

符号を調整する。

$(c-b)(a-b)(a-c) = -(b-c)(a-b)(a-c) = (a-b)(b-c)(c-a)$

## (1) 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)$

## (2) 問題の内容

$abx^2-(a^2 + b^2)x + (a^2-b^2)$ を因数分解する。

## (2) 解き方の手順

$abx^2-(a^2 + b^2)x + (a^2-b^2) = abx^2 - (a^2+b^2)x + (a+b)(a-b)$

たすき掛けを行う。

```

a -(a-b) -> -a^2 + ab

bx -(a+b) -> -abx - b^2 x

----------------------------

-a^2 -b^2 + ab

```

したがって、

$abx^2-(a^2 + b^2)x + (a^2-b^2) = (ax-(a+b))(bx-(a-b))$

$(ax-(a+b))(bx-(a-b)) = (ax-a-b)(bx-a+b)$

## (2) 最終的な答え

$(ax-a-b)(bx-a+b)$

## (3) 問題の内容

$(a+b+c+1)(a+1)+bc$ を因数分解する。

## (3) 解き方の手順

式を展開する。

$(a+b+c+1)(a+1)+bc = a^2 + a + ab + b + ac + c + a + 1 + bc$

整理する。

$a^2 + a + ab + b + ac + c + a + 1 + bc = a^2 + 2a + ab + ac + b + c + bc + 1$

$a$ について整理する。

$a^2 + 2a + ab + ac + b + c + bc + 1 = a^2 + (2+b+c)a + (b+1)(c+1)$

たすき掛けを行う。

```

1 (b+1) -> b + 1

1 (c+1) -> c + 1

--------------------

b + c + 2

```

したがって、

$a^2 + (2+b+c)a + (b+1)(c+1) = (a+b+1)(a+c+1)$

## (3) 最終的な答え

$(a+b+1)(a+c+1)$

## (4) 問題の内容

$(a+b+c)(ab + bc + ca) - abc$ を因数分解する。

## (4) 解き方の手順

式を展開する。

$(a+b+c)(ab + bc + ca) - abc = a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + ac^2 - abc$

整理する。

$a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + ac^2 - abc = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

$a$ について降べきの順に整理する。

$a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc = (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + bc(b+c)$

$(b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + bc(b+c) = (b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

$(b+c)$ でくくる。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c) = (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

括弧内を因数分解する。

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] = (b+c)(a+b)(a+c)$

並び替える。

$(b+c)(a+b)(a+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

## (4) 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$