複素数平面上の点 $\frac{1}{2}$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の円周から原点を除いた曲線を $C$ とする。 (1) 曲線 $C$ 上の複素数 $z$ に対し、$\frac{1}{z}$ の実部は 1 であることを示せ。 (2) $\alpha$, $\beta$ を曲線 $C$ 上の相異なる複素数とするとき、$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。 (3) $\gamma$ を (2) で求めた範囲に属さない複素数とするとき、$\frac{1}{\gamma}$ の実部がとりうる値の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $\frac{1}{2}$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の円周から原点を除いた曲線を $C$ とする。

(1) 曲線 $C$ 上の複素数 $z$ に対し、$\frac{1}{z}$ の実部は 1 であることを示せ。

(2) $\alpha$, $\beta$ を曲線 $C$ 上の相異なる複素数とするとき、$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

(3) $\gamma$ を (2) で求めた範囲に属さない複素数とするとき、$\frac{1}{\gamma}$ の実部がとりうる値の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ 上の複素数 $z$ は、$|z - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ を満たす。このとき、$z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおくと、$|x + yi - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ であるから、

$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = (\frac{1}{2})^2$

$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 = \frac{1}{4}$

$x^2 - x + y^2 = 0$

$x^2 + y^2 = x$

$z \bar{z} = x$

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{x}$

$\frac{1}{z}$ の実部は $\frac{x}{x} = 1$ である。ただし、$z \neq 0$ とする。

(2) $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta})^2 - \frac{2}{\alpha \beta}$

$\frac{1}{\alpha} = 1 + ai$, $\frac{1}{\beta} = 1 + bi$ （ただし、$a, b$ は実数、$a \neq b$）

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 2 + (a + b)i$

$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = (2 + (a + b)i)^2 - 2 (1 + ai)(1 + bi)$

$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = 4 + 4(a + b)i - (a + b)^2 - 2 \frac{1}{\alpha \beta}$

$\frac{1}{\alpha \beta} = (1+ai)(1+bi) = 1+ai+bi-ab = 1-ab+(a+b)i$

$(1 + (a + b)i)^2 - 2(1 - ab + (a+b)i) = 4- (a+b)^2 + 4(a+b)i -2(1-ab+(a+b)i)$

= $4 - (a^2+2ab+b^2) + 4(a+b)i -2+2ab-2(a+b)i = 2 - a^2 -2ab - b^2+2ab + 2(a+b)i$

$= 2-a^2-b^2 + 2(a+b)i$

$z = 2 - a^2 - b^2 + 2(a + b)i = x + yi$

$x = 2 - a^2 - b^2, y = 2(a + b)$

$a + b = \frac{y}{2}$

$x = 2 - a^2 - b^2$

$a \neq b$ より、 $\frac{y}{2} = a + b$

$\frac{y}{2}^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 > 0$

$a^2 - 2ab + b^2 > 0$

$a^2 + b^2 > 2ab$

$a \neq b$ であるので、$a^2 + b^2 + 2ab \neq 4ab$

$a^2+b^2 = (\frac{y}{2})^2 - 2ab$

$x = 2 - ((\frac{y}{2})^2 - 2ab) = 2 - \frac{y^2}{4} - (\frac{1}{2} (\frac{y}{2})^2)$

$\alpha \ne \beta$ より、$a \ne b$ なので、$4 - \frac{y^2}{4} - (\frac{1}{2} \frac{y^2}{4})$

もし $a = -b$ ならば $y = 0$, $x = 2 - 2a^2 < 2$ となる。

$x < 2$

$y = 0$

$x=2 - a^2 -b^2$

$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$ は $2$ を頂点とする放物線で、実数部は $2$ 未満。

(3) $\gamma$ は(2)で求めた範囲に属さない複素数なので, $\gamma$ は実軸上の2以上の点。

$\gamma = x, x \geq 2$

$\frac{1}{\gamma}$ の実部は $\frac{1}{x}$ であり、$x \geq 2$ なので、$\frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}$

$\frac{1}{\gamma}$ の実部の最大値は $\frac{1}{2}$。

$\frac{1}{x}$ は $x \to \infty$ のとき 0 に近づくので、$\frac{1}{\gamma}$ の実部の最小値は 0 。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{z}$ の実部は 1 である。

(2) 実部が2未満の放物線。

(3) 最大値: $\frac{1}{2}$, 最小値: 0