三角形ABCにおいて、AB=7, BC=13, CA=8である。角BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。(1) 角BACの角度、三角形ABCの面積を求め、さらに、三角形の面積について(三角形ABCの面積)=(三角形ABDの面積)+(三角形ACDの面積)が成り立つことを利用して、ADの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=7, BC=13, CA=8である。角BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。(1) 角BACの角度、三角形ABCの面積を求め、さらに、三角形の面積について(三角形ABCの面積)=(三角形ABDの面積)+(三角形ACDの面積)が成り立つことを利用して、ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、余弦定理を用いて角BACを求める。

余弦定理は、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$である。

今回の問題では、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos{BAC}$となる。

よって、$13^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos{BAC}$

$169 = 49 + 64 - 112\cos{BAC}$

$56 = -112\cos{BAC}$

$\cos{BAC} = -\frac{1}{2}$

したがって、$BAC = 120^{\circ}$

よって、サシスは120。

次に、三角形ABCの面積を求める。三角形の面積は、$S = \frac{1}{2}bc\sin{A}$である。

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin{120^{\circ}}$

$S = 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 14\sqrt{3}$

よって、セソは14、タは3。

(2) 角の二等分線の定理より、$BD:CD = AB:AC = 7:8$

$BD = \frac{7}{15}BC = \frac{7}{15} \cdot 13 = \frac{91}{15}$

$CD = \frac{8}{15}BC = \frac{8}{15} \cdot 13 = \frac{104}{15}$

三角形ABCの面積 = 三角形ABDの面積 + 三角形ACDの面積より、

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{A} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{\frac{A}{2}} + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin{\frac{A}{2}}$

$AB \cdot AC \cdot \sin{A} = AD \cdot \sin{\frac{A}{2}}(AB + AC)$

$7 \cdot 8 \cdot \sin{120^{\circ}} = AD \cdot \sin{60^{\circ}} \cdot (7 + 8)$

$56 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 15$

$28\sqrt{3} = AD \cdot \frac{15\sqrt{3}}{2}$

$AD = \frac{56}{15}$

よって、チッは56、テトは15。

3. 最終的な答え

∠BAC = 120度

△ABCの面積 = $14\sqrt{3}$

AD = $\frac{56}{15}$