一辺の長さが2の正四面体ABCDが立方体に含まれている。 (1) この立方体の一辺の長さを求めよ。 (2) ACの中点をM、BDの中点をNとするとき、MNの長さを求めよ。 (3) 四面体ABCDの体積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDが立方体に含まれている。

(1) この立方体の一辺の長さを求めよ。

(2) ACの中点をM、BDの中点をNとするとき、MNの長さを求めよ。

(3) 四面体ABCDの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 立方体の一辺の長さを求める。

立方体の一辺の長さを$x$とする。正四面体の一辺の長さが2なので、$AB = 2$である。

$AB$は立方体の対角線の一部であり、立方体の面の対角線を考える。

$AB^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$

$2^2 = 2x^2$

$4 = 2x^2$

$x^2 = 2$

$x = \sqrt{2}$

(2) MNの長さを求める。

点Mは線分ACの中点、点Nは線分BDの中点である。

立方体の中心をOとすると、MO = ON = $\frac{x}{2}$である。

また、MOとONは互いに垂直である。

したがって、MNの長さは

$MN = \sqrt{MO^2 + ON^2} = \sqrt{(\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{2(\frac{x}{2})^2} = \sqrt{2\frac{x^2}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}x^2} = \sqrt{\frac{1}{2}x^2}$

$MN = \sqrt{\frac{1}{2} \times 2} = \sqrt{1} = 1$

(3) 四面体ABCDの体積を求める。

立方体の体積から四面体ABCD以外の4つの三角錐の体積を引くことで、四面体ABCDの体積を求められる。

立方体の体積は $(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$

4つの合同な三角錐の体積は、底面が直角二等辺三角形(面積$\frac{1}{2}(\sqrt{2})^2=1$), 高さ$\sqrt{2}$なので、$\frac{1}{3} \times 1 \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

したがって、4つの三角錐の体積の合計は $4 \times \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

四面体ABCDの体積は $2\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{6\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$

(2) 1

(3) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$