一辺の長さが2の正四面体ABCDが立方体に含まれているとき、四面体ABCDの体積を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDが立方体に含まれているとき、四面体ABCDの体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、立方体の体積を求めます。正四面体の1辺の長さが2であることから、立方体の1辺の長さは $\sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2}$ となります。（正四面体の1辺は、立方体の面の対角線になっているため。）

立方体の体積は $(2\sqrt{2})^3 = 16\sqrt{2}$ です。

次に、立方体から四面体ABCD以外の体積を引きます。立方体の各頂点には、四面体ABCDに含まれない三角錐が4つ存在します。これらの三角錐は合同であり、底面は直角二等辺三角形、高さは立方体の1辺の長さに等しいです。

三角錐の体積は $\frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}) \times 2\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$ です。

三角錐が4つあるので、合計の体積は $\frac{32\sqrt{2}}{3}$ です。

したがって、四面体ABCDの体積は、立方体の体積から4つの三角錐の体積を引いたものになります。

四面体ABCDの体積 = 立方体の体積 - 4 × 三角錐の体積

$= 16\sqrt{2} - \frac{32\sqrt{2}}{3} = \frac{48\sqrt{2} - 32\sqrt{2}}{3} = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

四面体ABCDの体積は $\frac{16\sqrt{2}}{3}$ です。